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이번 장에서는 vibrating membrane의 모델 eq에 대한 해를 구해보자.
\[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\]
\[u=0 on the boundary\]
\[u(x, y, 0) = f(x, y)\]
\[u_t(x, y, 0) = g(x, y)\]
첫 번째 식은 Two-dimensional wave eq. \(c^{2} = T/p\) 가 유도된다.
두 번째 식은 boundary condition.
세, 네 번째 식은 Initial condition.
이제 해를 구해볼 것이다. 가로의 길이가 a이고 세로의 길이가 b인 직사각형에 대해 넓이가 R이라고 하자. 여태 했던 방식과 똑같이 step을 진행할 것이다.
Step 1. Three ODEs from the Wave Eq.
위에서 봤듯이 이번에는 변수가 3개이다. 그래서 처음 \(u(x,y,t) = F(x, y)G(t)\) 으로 가정한다.
two dimensional wave eq에 대입하면,
\[ F\ddot{G} = c^{2}(F_{xx}G + F_{yy}G)\]
Variables을 분리한다.
\[\frac{\ddot{G}}{c^{2}G} = \frac{1}{F}(F_{xx} + F_{yy})\]
분리가 가능하기에 위의 식은 상수인 것과 그 상수가 음수인 것도 12.3에서 증명했기에 생략한다.
여기서 그 상수를 \(\nu^{2}\) 라고 하자.
G에 대해서는 time func이 도출된다.
\[\ddot{G} + \lambda^{2}G =0 \]
여기서 \(\lambda = c \nu\)이다.
F(x, y)에 대해서는 amplitude func이 도출된다.
\[F_{xx} + F_{yy} + \nu^{2}F = 0 \]
F(x, y)에 대해서도 해를 구해보자.
F(x, y) = H(x)Q(y) 이라고 가정하고, amplitude func에 대입하자.
\[\frac{d^{2}H}{dx^{2}}Q = -(H\frac{d^{2}Q}{dy^{2}} + \nu^{2}HQ\]
\[\frac{1}{H}\frac{d^{2}H}{dx^{2}}Q = -\frac{1}{G}(\frac{d^{2}Q}{dy^{2}} + \nu^{2}Q\]
위의 식 또한 상수이며 음수이다. \(-k^{2}\) 라고 하자.
\[\frac{d^{2}H}{dx^{2}} +k^{2}H = 0\]
\[\frac{d^{2}Q}{dy^{2}} + p^{2}Q = 0\]
위 두 식이 도출되고, \(p^{2} = \nu^{2} - k^{2}\)이다.
Step 2. Satisfying the boundary condition
ODE로 위 두 식을 풀면, \[H(x) = Acoskx+Bsinkx, Q(y)=Ccospy+Dsinpy\]
boundary condition은 직사각형의 각 네 꼭짓점에 해당한다. 즉, H(0)=0, H(a)=0, Q(0)=0, Q(b)=0.
H(0) = A = 0 & H(a) = Bsinka = 0. B가 0인 경우는 No interest이므로 B는 0이 아니어야 한다.
sinka = 0을 만족하는 경우는 \(ka = m\pi\)인 경우다.
G(t)에 대해서도 마저 구해보자.
Step 3. Solution of the Model.
Infinite 경우를 고려하여 coefficeint를 구해보자.
