개발자와 공학자 그 사이

이번에는 Complex number로 확장해서 알아보겠다. 전에 정의된 Inner product 정의가 complex number에서는 조금 다르게 정의된다. 1. 의 성질을 만족하는 complex inner product를 Hermitian form 라고 한다. 2.를 포함해 다음을 만족하면, \(\)을 sesquilinear form 라고 한다. 위의 성질을 1. , 2. 을 둘 다 만족하면 Hermitian sesquilinear form 이라고 부른다. 이제 내적에 기반한 Norm을 정의보자. 그 전에 Cauchy-Schwarz 부등식을 만족해야지 Norm의 여러 성질들을 만족할 수 있다. Cauchy-Schwarz 부등식을 충족시키지 않는다면, 벡터의 Norm이 음수가 될 수 있거나, Norm의..

이전까지는 vector space를 basis로 쪼갰다면, 이제는 vector space를 subspace들로 쪼개보겠다. 이와 관련된 정의는 다음과 같다.여기서 V가 내적 공간이고, S가 nonempty subset이면, S-perp 또한, zero vector 포함, addition, scalar mutliplication이 가능하면서 V의 subspace가 된다. 이와 관련된 예시를 보자.Orthogonal한 subspace 사이들의 특징을 알아보자. 1. S & T가 V의 orthogoanal subspace이면 \(S \cap T = {0} \)이다. 2. (\(S^{⊥}\))\(^{⊥}=S\) 3. S, T 모두 V의 subspace이면, S+V 또한 subspace라는 사실은 이전 챕터들에서..

이번에는 한 평면의 basis에서 orthogonal basis를 생성하는 방법을 알아보도록 하겠다. 이를 Gram-Schmidit Orthogonalization process라고 부른다. nonorthogonal basis \({u,v}\)에서 orthogonal basis \({u, \hat{v}}\)으로 바꾸는 과정이다. \(\hat{v}\)은 u,v의 linear combination으로 나타낼 수 있기에 \(sp{u, \hat{v}} = sp{u,v}\)은 같다. 즉, 같은 평면에 존재하면서 내적이 동일하다는 의미이다. 이에 관한 증명은 뒤에 바로 다룰 것이며, 일단 orthogonal basis를 구하는 과정은 다음과 같다. 왜 앞서 얘기한 두 basis 집합이 하나의 평면을 공유하는지 증명..

https://twlab.tistory.com/34 [Linear Algebra] Lecture 15-(2) 투영행렬(Projection matrix)과 부분 공간(subspaces) 이번 시간에 배울 내용은 바로 투영 행렬(Projection matrix)에 관한 내용이다. 이번 강의는 매우 중요하므로 잘 공부해 두도록 하자. 투영 행렬에 관한 내용을 공부하기에 앞서 2차원 벡터의 투영을 twlab.tistory.com 위의 블로그 글도 같이 참고하면 좋을 것 같다. Projection을 하는 이유는 다른 공간 또는 벡터를 또 다른 공간 또는 벡터에 투영(수직 관계)하여 차원을 줄이거나, 원하는 방향으로 크기를 조정하기 위해 사용된다. 보통 투영을 수직 관계가 되게끔 하는 이유는, 거리가 최소로 되게 ..

우리가 흔히 알고 있는 (nonzero) vector x, y 에 대한 내적, 은 다음과 같다. \[x \cdot y = ||x||_2||y||_2cos(\theta)\] \(\theta\)는 x,y 사이의 angle이다. 여기서 \(\theta\)가 90도이면, 내적이 0인 것 또한 기하를 어느 정도 알고 있는 학생이면 잘 알 것이다. 즉, =0일 때, 필요충분조건으로 다음을 만족한다. \[||x+y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2}, \quad ||x-y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2}\] \[||x+y||^{2} = = + 2 + = ||x||^{2} + 2 + ||y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2}\] x-y 일 때도 같다. Ortho..

Transpose를 이용한 inner product와 이를 확장해서 linear operator일 때도 볼 것이다. \(A \in F^{m\ times n} \)일 때, \(A\)의 transpose, \(A^{T}\)에 대해서 다음과 같이 정의된다. \[(A^{T})_{ij} = A_ji, \quad i=1,2, \cdots m \] \(A \in R^{m \times n}, \quad x \in R^{n}, y \in R^{m}\)에 대해 \[(Ax) \cdot y = \sum_{i=1}^{m}(Ax)_i y_i = \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_j) y_i = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_jy_i \] \[\sum_{j=1..

우리는 Ax = b 계산할 때, free variable에 대해 basis가 span한 공간의 특성만 나타내고 정확한 해를 구하지는 못했다. 이를 해결하기 위한 것이 이번 장이다. Ax = b를 근사하게 만족하는 근사 해 x를 구하는 방향으로 x를 구할 것이다. 근사 해 구할 때 projection으로 해를 구하는 것이다. 그 전에 벡터의 크기를 무엇인지 알아야 한다. 1. 크기는 항상 양수이다. 2. 실수 곱은 크기 구할 때 분리 법칙 적용 가능 3. 두 벡터를 더한 것의 크기는 항상 각각의 크기를 더한 것보다 작다. 3.은 삼각형 변 길이를 추측할 때 쓰이던 방법이다. (제 기억으로는 아마 초등학교 때 했던 걸로..) 밑의 사진을 보면 3.은 더 잘 이해될 것이다. 크기를 구하는 방법은 다음과 같다...

이제 eigenvalue를 isomorphism 개념을 적용하여 Linear Operator 로 확장해볼 것이다. 매우 중요하니 잘 숙지해두는 걸로 하자. Linear operator의 representation이 생소하다면 다음 블로그 글들을 참고하자. https://elementary-physics.tistory.com/7 (선형대수학) 1.4 Coordinate RepresentationRepresentations of Vectors Basis의 정의로부터 vector space의 임의의 vector는 basis vector들의 linear combination으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간 \( \mathbb{R}^3 \)에 대하여 basis를 $$ \mathcal{B} = \{~..