[선형대수학] Ch 4.1 - The Determinant Function

이제 아주 중요한 determinant에 대해 배워볼 것이다. Determinant 왜 중요할까? 결론부터 말하자면, 고유값(Eigenvalue) 때문이다. 설명은 뒤에서 이어 말하는 걸로 한다.

일단 determinant는 nxn matrix, 즉 행과 열의 개수가 같은 정방 행렬에서만 구할 수 있다. D(A) = |A|= det(A)로 쓰인다. 보통 많은 계산에서 determinant는 nxn matrix의 역행렬이 존재하는지(invertible)한지를 알아내기 위해 계산에서 많이 쓰인다. Determinant가 0이면, 특이 행렬(singular matrix)로 역행렬이 존재하지 않고, 0이 아니면, 비특이 행렬(nonsingular matrix)로 역행렬이 존재한다. 이와 관련한 얘기는 뒤에서 더 자세히 다루도록 하고, determinant에 관한 기본적인 다음 세 가지 기본적인 특성은 다음과 같다.

 

1. \(det(e_1, e_1) =1\), 즉 단위 행렬의 determinant는 1이다.  2x2 matrix에 대한 determinant의 계산 식을 이용해 구해보자.

\[
\text{det} =
\begin{vmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
= (1 \times 1) - (0 \times 0) = 1
\]

즉, 일반화하면, \({e_1, e_2\cdots , e_n} \)이 standard basis(\(e_1\)은 A_11만 1이고 나머지 0)라고 하면, 다음이 성립한다.

\[det(e_1, e_2 \cdots, e_n) = 1\]

 

2. \(\lambda\)>0인 Field에 속하는 (고등학교 과정에서는 상수) 값, \(A_1, A_2 \cdots, A_n \in F^{n}\) \(1 \leqslant j \leqslant n\) 다음 성질을 만족한다.

\[det(\lambda A_1, \cdots A_{j-1}, \lambda A_j, A_{j+1}, \cdots A_n)  = \lambda det(A_1, A_2)\]

\(\lambda\)는 eigenvalue라고 이후 불리는데 이에 대해서는 뒤에서 다루는 걸로 하자.

 

3.  2. 조건에서 i \(\neq\) j, 1 \(\leqslant\) i, j \(\leqslant\) n인 i, j의 조건에서 선형 결합에 대해 다음을 만족한다. 

\[det(A_1, \cdots, A_{j-1}, A_j+\lambda A_i, A_{j+1} \cdots A_n ) = det(A_1, \cdots A_n)\]

마치 dependent한 basis들을 independent basis들 형태로 만들어 놓은 것이랄까.

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위의 성질과 관련해서 다음과 같은 이론으로 다음이 있다.

pf)

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Permutations

위의 성질 4번에서 열을 한 번 바꿀 때마다 det 부호가 바뀐다는 사실을 알았다. 이를 permutation이라고 부르며, 짝수번 바꾸면 det 부호는 그대로, 홀수 번 바꾸면 det 부호는 (-)가 붙어 반대로 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이에 대해 다음과 같이 타낸다.

\(\tau\)는 열을 바꾼 횟수이다.

permutation \(\tau\)는 요소들의 순서를 변경하여 만들어지는 모든 가능한 순서로된 배열로, 만약 n=\({1, 2 \cdots, n}\)가 \(\tau \quad : \quad n \to n\)로 bijection을 형성한다고 했을 때, \(i_j = \tau (j) \)로 나타낸다. 이에 관한 예시로 다음과 같다.

\[ S_3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)} \]

\(S_n\)은 n! 만큼의 요소들을 지니고 있으며, 원래는 (1,2,3)인 기본 순열에서 열을 바꿔서 나타낸 집합이 위와 같다는 것을 알 수 있다. n=5일 때 기본 순열 (1,2,3,4,5)에서 바꾼 것에 대해 다음과 같이 간단하게 나타낸다.

\[(2,1,3,4,5) = [1,2] \quad , \quad (3,2,1,4,5) = [1,3] \quad , \quad (4,2,3,1,5) = [1,4] \]

즉 일반화하면 이렇다.

이들의 규칙을 이용한 예시를 보자.

Ex) 다음을 증명하시오.

\[ (3,5,2,1,4) = [1,4][1,2][2,5][1,3] \]

 

위의 사이클 그림을 disjoint cycle이라고 부른다. 이는 transpositions의 내적이다. 여기서\(\tau(1) = 3, \quad \tau(2) = 5, \quad \tau(3) = 2, \quad \tau(4) = 1, \quad \tau(5) = 4\)
라고 한다. 

Inv(\(\sigma\)), permutation의 역 형태도 다음 예시를 통해 알아보자. 다음 유튜브 영상을 기반으로 예시를 풀이했다.

https://www.youtube.com/watch?v=liKMUFFrQZQ

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이들의 성질들을 이용해서 Determinant를 확장시켜보자.

 

간단히 matrix 여러 개에 permutation 수식들을 더하면 이렇게 된다는 의미다. 사실 열 바꿀 때마다 determinant 부호가 한 번씩 바뀐다 이 정도만 알아도.. 나중에 계산하는 데에는 문제가 없다. 

여러 matrix로 적용한 ver으로 위의 성질 3가지를 증명한 것이 다음 교재의 proof들인데요, 일단 사진 첨부만 하고, 이해가 좀 되면 나중에 설명을 덧붙이겠습니다.

chatGPT가 아주 잘 설명해주었다. 간단히 말해 permutation sigma 기호는 열을 바꾸는 횟수에 따라 부호를 붙여주는 것이고, 새로운 A 행렬들의 집합은 upper triangle이 되기 위해 열을 잘 바꾼 행렬 집합인 것이다. 

 

이로써 여기까지 determinant에 대해서 간단히 배워보았는데요. determinant가 중요한 이유는 다음과 같습니다.

 

1. 역행렬 존재 여부

2. 주어진 행렬의 rank가 full rank가 아니면, 여러 해가 존재하는 등의 문제가 생겼는데요, 사실 이는 가우스 elimination 계산을 통해 일일이 알았었습니다. 하지만, 이 determinatn 값이 0이면, 해당 방정식이 해가 하나가 아니라는 정보를 빠르게 얻을 수 있습니다. 

3. 고유값(eigenvalue) : 이후 det 계산과 관련해서 고유값 계산에 쓰입니다. 이들은 행렬이 작용하는 방향을 나타내는 데 쓰이는데요, 이 다음은 이후 장에서 자세히 나옵니다.