[선형대수학] Ch 3.4 - Linear Operator Equations

\(X, U vector space\)에 대해 \(L : X \to U\)를 만족하는 방정식, \( L(x) = u\)은 linear하다. 여기서 u는 U의 원소.

\(L(x) = u \) inhomogeneous 와 \(L(x) = 0\) homogeneous에 대해 (\(u \neq 0\)) 배워볼 예정이다. 

여기서 본격적으로 kernel(null space)과 range(image space)에 대해 나오는데, 정의는 다음과 같다. 

\(X, U\) vector space에 대해 \(L : X \to U\)을 linear하다고 하자.
ker(L)의 kernel은 영공간으로 정의는 다음과 같다. 모든 set의 답은 L(x) = 0으로, 
\[ker(L) = \left\{ x \in X : L(x) = 0 \right\} \]
R(L)의 R은 상공간, image로 정의는 다음과 같다.
\(R(L) = \text{Im}(L) = \left\{L(x) \in U : x \in X \right\} = \left\{ u \in U : u = L(x) \text{ for some } x \in X \right\}\)

kernel과 range의 subspace에 관한 내용이다.

\(X, U\) vector space에 대해 \(L : X \to U\)을 linear하다고 하자.
ker(L)은 X의 subspace이고, R(L)은 U의 subspace이다.

증명) 3.1에서 정의했듯이, L(0) = 0이고, 이는 \( 0 \in ker(L)\), \( 0 \in R(L)\)이라는 의미이다.

만약, \(x \in ker(L)\)이면, L(x)=0이다. 임의의 \(\alpha \in F\)에 대해서 \(L(\alpha x) = \alpha L(x) = \alpha  ⋅ 0 = 0이고, 이는 \( \alpha x \in ker(L)\), 즉 scalar multiplication 성립.

유사하게 만약 \(x, y \in ker(L)\)이면, L(x) = 0, L(y) = 0인데, 이는 \(L(x+y) = L(x) + L(y) \)을 만족한다. 이것 또한 \(x+y \in ker(L)\)이라는 의미이며, ker(L)은 X의 subspace이다. R(L)에 대해서도 똑같이 진행하면 된다. 

 

Homogeneous Linear Equation

\(X, U\) vector space에 대해 \(F\)는 무한하게 많은 요소를 가지고 있다고 하자. 만약 \(L : X \to U\)을 linear하면, \(L(x) = 0\)은 정확히 하나의 solution 또는 무한하게 많은 solution을 지니고 있다.

증명) L(x) =0 이 항상 x=0을 해로 가지고 있다는 건 자명하다. 만약, x=0 해 하나밖에 없으면 이론은 성립한다. L(x) = 0이 nontrivial solution을 지닌다면 이는 무한한 해를 가지고 있다. L(x) = 0에 대해 nontrivial solution y를 가지고 있으면, ker(L)은 X의 nontrivial subspace이다. 

Inhomogeneous Linear Equation

Example로 알아보자. 

보조 정리) \(X, U\) vector space에 대해  \(L : X \to U\)을 linear, 그리고 \(u \in U\)라고 하자. 만약 \(\hat{x} \in X\)가 \(L(x) = u\)의 해라고 하고, \( y \in ker(L)\)이면, \(\hat{x} + y\)은 \(L(x) = u\)의 또 다른 해이다.

증명) \(L(\hat{x}) = u\) 그리고 \(L(y) = 0\)이며, 선형성에 의해 \(L(\hat{x} + y ) = L(\hat^{x}) + L(y) = u + 0 = u\)

영어로 나타내면, 

All solutions to an mxn linear system Ax=b is a set \(\left\{x_0 + z | Ax_0 = b, Az = 0\right\} =x_0 + Null(A)\)

보조 정리) \(X, U\) vector space에 대해  \(L : X \to U\)을 linear, 그리고 \(u \in U\)라고 하자. \(L(x) = u\)의 두 해가 \(x_1, x_2\) 이라면, \(x_1 - x_2 \in ker(L)\)이다. 

증명) 가정에 의해 \(L(x_1) = u\) 그리고 \(L(x_2) = u\)이며, 선형성에 의해 \(L(x_1 - x_2) = L(x_1) - L(x_2) = u - u =0 \)이다.