[선형대수학] Ch 3.2 - More Properties of Linear Operators

 

 

Linear Operator의 다양한 특징에 대해 더 알아보자.

\(F\)-vector space \(X, U\)에 대해 다음을 만족한다. 
1. \(L : X \to Y\)가 linear하면, \( \alpha \in F\)에 대해 \(\alpha L\) 또한 linear하다.
2. \(L : X \to Y\)과 \(M : X \to U\)가 linear하면, \(L+M\) 또한 Linear하다.

이런 linear operator 또한 vector space이다.

이전 장에서 배운 두 가지를 복습해보자. 

1. \(A \in F^{m \times n}\)을 linear operator \(T : F^{n} \to F^{m}\)에 대해 식 \( T(x) = Ax. x \in F\) 다음과 같이 나타낸다. \( Ax = x_1 A_1 + x_2 A_2 + \cdots + x_n A_n \) A에 관한 열들이 1, 2, 3 ..n으로 표현된다. 

2.  standard basis \((e_1, e_2, \cdots, e_n)\), 아래 첨자에 해당하는 숫자만 1이고 나머지는 영벡터인 basis에 대해 \( A e_j = A_j, j= 1, 2, \cdots n\)이다. 

이 두 가지와 관련된 이론은 다음과 같다.

F(field)에 대해 \(T : F^{n} \to F^{m}\)이 linear하다고 하자. 모든 \( x \in F^{n}\)의 \(x\)에 대해 \(T(x) = Ax\)을 만족하는 "유일한" \(A \in F^{m \times n}\)인 다음과 같은 A가 존재한다. 
\[ A = [T(e_1)|T(e_2)| \cdots |T(e_n)] \]
\(\left\{e_1, e_2 \cdots e_n \right\}\)은 standard basis이다.

증명)  \(A = [T(e_1)|T(e_2)| \cdots |T(e_n)] \)라고 하면, 임의의 \(x \in F^{n}\)에 대해 다음을 만족한다. \[Ax = x_1 A_1 + x_2 A_2 + \cdots +x_n A_n = x_1 T(e_1) + x_2 T(e_2) + \cdots + x_n T(e_n) \] 

\(x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n\)이므로 선형성에 의해 \[ T(x) = T(  x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n) =  x_1 T( e_1 )+ x_2 T(e_2) + \cdots + x_n T(e_n) \]을 만족하며, 이는 모든 \(x \in F^{n}\)에 대해 \(T(x) = Ax\)을 만족한다.

 

Uniqueness에 대한 증명은 \(B \in F^{m \times n}\)라고 가정하고, 모든 \(x \in F^{n}\)에 대해 \(T(x) = Bx\)라고 하면, j=1,2,3 .. n에 대해 \(T(e_j) = B_j\)을 만족한다. 이는 A와 B가 같은 열(columns)을 지니고 있다는 의미이므로 A와 B는 같은 matrix이다.

위의 예시는 회전 변환에 대한 설명이다. 

자세한 성질은 이 블로그를 참고하자. 더 자세히 나와 있고, 증명도 꼼꼼하다.

https://aerospacekim.tistory.com/41

[선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환

특별한 선형 변환에 대해 위의 블로그 내용을 발췌해왔다.

 

항등변환은 벡터 공간의 벡터를 동일한 벡터 공간의 동일한 벡터로 보내고, 영변환은 한 벡터 공간의 모든 벡터를 다르 ㄴ벡터 공간의 영벡터로 보내는 함수이다. 항등병원의 아래 첨자는 항등변환이 정의된 벡터 공간을 나타내고, 필요 없을 때는 간단히 \(I\)라고 한다.

이와 관련하여 중요한 부분공간 두 개를 설명하고자 한다.

 영공간은 영벡터로 가는 출발지의 집합, 상공간은 가능한 모든 도착지의 집합인 것이다. 영공간은 정의역 벡터 공간 \(V\)의 부분집합, 상공간은 공역 벡터 공간 \(W\)의 부분집합이다.

 

나머지 부분은 우리가 흔히 아는 벡터 내적 & transpose에 관한 설명이므로 이하 생략한다.