[선형대수학] Ch 2.7-Properties of bases(+3.7)

 

 

전 장에서 얘기한 기호를 자세히 설명해보면서 bases(basis의 복수)의 성질에 대해서도 알아보자.

finite-dimensional vector space의 모든 nontrivial subspace는 basis를 가지는데, 고려하여 basis 정의를 다시 살펴보자.

\(F-vector space V\)를 nontrivial vector space라고 하고, \({u_1, u_2 \cdots u_n}\)이 \(V\)에 span한다고 하면, 이 \({u_1, u_2 \cdots u_n}\) subset은 \(V\)의 basis이다. 

우리는 벡터가 더 많았을 때 sp 안의 벡터가 줄어드는 경우만 자주 봤었다. 그러나 반대의 경우도 성립한다.

\(F-vector spaceV\)를 finite-dimensional vector space라고 하고, \({u_1, u_2, \cdots u_k} \subset V\)인 set이 Linearly independent하자. 만약 \({u_1, u_2, \cdots u_k} \)이 \(V\)에 span 하지 않는다면, \({u_1, u_2, \cdots u_k, u_{k+1} \cdots u_n} \)이 \(V\)의 basis가 된다.

span을 만족하지 못하니, \( u_{k+1} \in sp(u_1, u_2, \cdots u_k)\)의 \(u_{k+1}\)에 대하여 이 벡터를 포함한 set은 2.5장에서 알 수 있듯이 Linearly independent하게 되며, 쉽게 말하자면 벡터가 추가 되어야지 vector space V에 대해 공간을 만들 수 있다는 뜻이다. 다음은 원문 proof이다.

이와 관련된 Example을 보겠다.

이렇게 임의의 vector들을 생성하여 차원을 늘리면서 이들이 unique하게 trivial solution을 가지는지 확인해서 Linearly independence를 판단할 수 있다. 

다른 example도 보겠다. 

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사실 여기까지가 2.7장 내용이다. 하지만 교수님이 3.7 내용까지 추가로 설명해주셨기에(너무 하십니다..) 조금 더 심화되게 공부해보자. 그래도 개념 및 기호 설명 수준으로 설명해주셨다.

 \[F^{m \times n} \times F^{n \times p} \to F^{m \times p} \]

 

\[ A_{i} B^{j} = (a_{i1} a_{i2} \cdots a_{in}) \begin{pmatrix}
b_{1j} \\
b_{2j} \\
\vdots \\
b_{nj}
\end{pmatrix} \]

여기서 아래 첨자 i는 row, 위 첨자 j는 column이다.

이후 설명해주신 내용은 vector의 곱셈에 관한 설명을 해주셨다. 이는 1장에서 설명했고, 자세한 것은 뒤 chapter에서 다루는 걸로 한다. 

 

REF에 관한 설명도 해주셨는데, 이는 scalra multiplication 합 = 0 으로 계속 문제 풀었었는데, 여기서 

\[
\begin{pmatrix}
 1& 0 & 0&0   \\
 0& 1 &0 &2 \\
 0& 0 &1& 1  \\
 0 & 0& 0& 0\\
\end{pmatrix}
\]

와 같은 행렬로 다음과 같은 성질이 있다.

 

1. 각 행에서 처음으로  0이 아닌 수는 1이다.

2. 선행 성분이 나타나는 i행과 j행의 선행성분의 위치는 i < j이다.

3. 모든 성분이 0인 행은 가장 아래쪽에 있다.

 

Linear Transformation에 대해 간단히 설명하자면, A : \(\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2} \)와 같이 차원이 변하는 걸 뜻한다. 

이후 chapter에서 더 설명할 예정이니 이 정도에서 끝내셨다.