[선형대수학] Ch 2.4 - Linear Combinations

 

 

Linear Combinations

\(F\)- vector space \(V\)에 대해, \(u_1, u_2, \cdots, u_k\)을 \(V\)의 vectors, \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in F \)이라고 하면, \(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_k u_k \)를 Linear Combination(일차 결합) 이라고 한다.

일차 결합은 벡터 여러 개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것이다. 벡터 공간의 성질에 따라 다음도 정의된다. 

Vecotr space \( V\)에 대해 공집합이 아닌 subspace \(S\)의 모든 일차결합은 \(V\)에 속한다. 

이 이론의 증명은 수학적 귀납법으로 증명한다.

subspace \(S\)에 속하는 임의의 벡터 \(u_1\)와 임의의 scalar \(\alpha\)가 있다고 하자. \(S\)의 원소는 벡터 공간 \(V\)의 원소이기도 하므로 벡터 공간 성질에 의해 \(u_1\)과 \(\alpha_1\)의 스칼라 곱 \(a_1u_1\)은 \(V\)에 속한다. \(S\)에 속하는 \(k\)개의 벡터 \(u_1, \cdots, u_k\)와 스칼라 \(a_1, a_2, \cdots a_k\)에 대해 일차 결합  \(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_k u_k \)가 \(V\)에 속한다고 하면, 임의의 벡터 \(u_{k+1} \in S\)와 임의의 스칼라 \(a_{k+1}\)의 스칼라 곱 \(a_{k+1}u_{k+1}\)은 벡터 공간의 성질에 따라 벡터공간 \(V\)에 속한다. 또한 이에 따라 \(v_k + a_{k+1}u_{k+1} \in V\)이다. 즉,  \[\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_{k+1} u_{k+1} \in V \]

이며, 수학적 귀납법에 따라, 임의의 자연수 n에 대해 다음이 성립한다.

\[\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n \in V \]

교재의 증명 또한 제시하겠다.

 

---

Span 

span에 대한 정의는 다음과 같다. 
\(F\)-vector space \(S\)에 대해 \(u_1, u_2, \cdots u_n, n \geq 1\)을 \(V\)에 속한다고 가정하자.
 \(u_1, u_2, \cdots u_n\)의 Linear combinations 집합을 Span 이라고 정의한다. 기호로는 \(sp{u_1, u_2, \cdots u_n}\) 또는 \( span(S) \)이라고 한다.  

Example로 더 자세히 알아보자. 

이렇게 문제를 푸는 이유 증명하고자 하는 벡터가 S에 속하면, sp{u1, u2}에서 u1, u2의 선형결합으로 증명하고자 하는 벡터를 나타낼 수 있기 때문이다. 

Linear independence에 대해서는 다음 장에서 다룰 예정이다.

이론들의 증명은 https://aerospacekim.tistory.com/25 를 참고했습니다.