[선형대수학] Ch 4.5 - Eigenvalue and the characteristic polynomial

ch 4.4는 앞 절에서 얘기한 polynomial 얘기랑 같아서 생략한다.
이제 드디어 eigenvalue가 뭔지 얘기를 해보고자 한다.
일단 다음 영상이 도움이 되므로 한 번 가볍게 보고 오는 것이 좋을 것 같다. 
https://www.youtube.com/watch?v=xDARfmKauuA

 
일단 영상의 내용을 좀 정리해보았다.

Eigenvalue란?

\[Av = \lambda v \]
위에서 \(\lambda\)는 eigenvalue, v는 eigenvector이다. \(\lambda\)는 Field에 속하는, 일종의 상수이다. 
여기서 A는 mxn, v는 nx1 matrix이면, 우변이 나오기 위해서는 m=n이 되어야 하며, A는 정사각 행렬이다.

왜 eigenvalue가 중요한가?

 
 

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이제 수식적으로 알아보자. 우선 \(det(\lambda I - A)\)의 계산은 다음과 같다.

pf)

이는 det(rI-A)는 일종의 다항식 형태가 되기에 다음과 같이 정의한다.

또한 A의 digonal element들에 대해 다음과 같이 정의한다.

Example을 보자.
 

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이제 eigenvalue를 구하는 데에서 그치지 말고, x의 값, eigenvectors도 구하는 것으로 한다. 다음 Example을 보자.