[선형대수학] Ch 4.7 - Eigenvalues of linear operators

이제 eigenvalue를 isomorphism 개념을 적용하여 Linear Operator 로 확장해볼 것이다.
매우 중요하니 잘 숙지해두는 걸로 하자.
 Linear operator의 representation이 생소하다면 다음 블로그 글들을 참고하자.
https://elementary-physics.tistory.com/7

(선형대수학) 1.4 Coordinate Representation

https://elementary-physics.tistory.com/17

(선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations

 Linear Operator T : $V\to V$ (V는 finite-dimensional vector space over F, 유한한 차원의 벡터 공간)이 있다고 하자.
 
만약, $v\ne 0$이고, $T(v)=\lambda v$이면, 이를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v\in V$인 eigenvalue와 eigenvector가 존재한다. $\mathit{U}=u_1,u_2,\cdots u_n$이 V의 basis라고 하면, $x=[v{]}_U\in F^n$을 만족하는 $v\in V$가 존재한다. 참고로 x, v, U에 대해 다음을 만족하며, 이 v를 given basis의 유일한 representation이라고 하자.
$$v=x_1{u}_1+x_2{u}_2\cdots +x_n{u}_n$$
 
 T(Linear transformation)에 대해 $A=[T{]}_{u,u}\in F^{n\times n}$ 을 만족한다고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$T(x_1{u}_1+\cdots +x_n{u}_n)=y_1{u}_1+\cdots +y_n{u}_n\iff Ax=y$$
 
A는 다음과 같이 정의될 수도 있다.
$$T(v)=\omega \iff A[v{]}_U=[\omega {]}_{U}forallv\in V$$
 
$T(u_j)=a_{1j}{u}_1+a_{2j}{u}_2+\cdots +a_{nj}{u}_n$이라고 하면, $[u_j{]}_U=e_j$이므로 다음을 만족한다.
$$A_j=A{e}_j=A[u_j{]}_U=[T(u_j){]}_U=(a_{1j},a_{2j},\cdots a_{nj})$$
 
$$A_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{nj}\end{array}\right]$$
 이므로 
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
 
이와 관련해 예시를 보자.

이후의 과정은 손풀이로!

이를 통해 $T$와 $[T{]}_{U,U}$는 same eigenvalue를 갖는 similar한 Linear operator이다. 

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이와 관련하여 A와 B가 similar할 때 나타나는 특징 또한 Linear operator인 경우도 적용할 수 있는 것이다.

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Diagonalization과 Linear Operator를 같이 고려한 이론 또한 다음 것들이 있다.

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