[선형대수학] Ch 4.7 - Eigenvalues of linear operators

이제 eigenvalue를 isomorphism 개념을 적용하여 Linear Operator 로 확장해볼 것이다.
매우 중요하니 잘 숙지해두는 걸로 하자.
 Linear operator의 representation이 생소하다면 다음 블로그 글들을 참고하자.
https://elementary-physics.tistory.com/7

(선형대수학) 1.4 Coordinate Representation

https://elementary-physics.tistory.com/17

(선형대수학) 2.5 Representations of Linear Transformations

 Linear Operator T : \(V \to V\) (V는 finite-dimensional vector space over F, 유한한 차원의 벡터 공간)이 있다고 하자.
 
만약, \(v \neq 0\)이고, \(T(v)  = \lambda v\)이면, 이를 만족하는 \(\lambda \in F\)와 \(v \in V\)인 eigenvalue와 eigenvector가 존재한다. \(\mathit{U} = {u_1, u_2, \cdots u_n} \)이 V의 basis라고 하면, \(x=[v]_U \in F^{n}\)을 만족하는 \(v \in V\)가 존재한다. 참고로 x, v, U에 대해 다음을 만족하며, 이 v를 given basis의 유일한 representation이라고 하자.
\[ v = x_1u_1 + x_2u_2 \cdots + x_n u_n\]
 
 T(Linear transformation)에 대해 \(A = [T]_{u, u} \in F^{n \times n} \) 을 만족한다고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[T(x_1 u_1 + \cdots + x_n u_n) = y_1u_1 + \cdots + y_n u_n \Leftrightarrow Ax = y\]
 
A는 다음과 같이 정의될 수도 있다.
\[T(v) = \omega \Leftrightarrow A[v]_U = [\omega]_U \quad for \quad all \quad v \in V \quad\]
 
\(T(u_j) = a_{1j}u_1 + a_{2j}u_2 + \cdots + a_{nj}u_n\)이라고 하면, \([u_j]_U = e_j\)이므로 다음을 만족한다.
\[A_j = Ae_j = A[u_j]_U = [T(u_j)]_U = (a_{1j}, a_{2j}, \cdots a_{nj}) \]
 
$$
A_j =\begin{bmatrix}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{nj} \\
\end{bmatrix}
$$
 이므로 
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
$$
 
이와 관련해 예시를 보자.

이후의 과정은 손풀이로!

이를 통해 \(T\)와 \([T]_{U, U}\)는 same eigenvalue를 갖는 similar한 Linear operator이다. 

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pf)

이와 관련하여 A와 B가 similar할 때 나타나는 특징 또한 Linear operator인 경우도 적용할 수 있는 것이다.

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Diagonalization과 Linear Operator를 같이 고려한 이론 또한 다음 것들이 있다.

pf)