[선형대수학] Ch 4.6 - diagonalization

 

 

 

 

위의 이론은 eigenvectors들의 linearly independent와 dependent에 관한 증명이다.

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이제 diagonalization과 eigenvalue를 이용해 matrix가 similar하다는 의미를 알아볼 것이다.

이와 관련한 성질은 다음 이론과 같다.

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이제 Example로 similar matrix에 대해 알아볼 예정인데, 그 전에 AM과 GM에 대해 알아보자.

 

AM(Algebric multiplicity)란 number of times \(\lambda\) appears as a root of the characteristic polynomial. 즉, det(\(\lambda\)I - A) = 0 의 근 \(\lambda\) 값이 방정식의 근으로 몇 번 나오는지에 관한 것이다. 

GM(Geometric multiplicity)란 \(dim(E_A(\lambda))\) 값이다. 다음 Example을 통해 자세히 알아보자.

 

여기서 왜 AM과 GM이 일치해야지 matrix A가 diagonalizable하냐고 의문이 들 수 있는데, 위에서 언급한 정의를 생각해보면 된다. AM은 해당 eigenvalue이 방정식에서의 근 개수, GM은해당 eigenvalue의 dimension 값이다. nxn matrix인 A가 n 개의 linearly independent한 eigenvectors를 가지고 있어야지 diagonalizable한 것이다. 또한 위에서 corollary 195에서 정의한 것이 성립 (eigenvalue가 distinct eigenvalue에서 해당 dim의 합은 n이면 \(F^{n}\)은 A의 eignevector들의 basis를 가진다고 할 수 있다.) 해야지 diagonalizable하다고 할 수 있다.

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=DsXMdBBltQo

첫 번째 예시에서 \(\lambda\)가 2인 경우의 AM과 3인 경우의 AM을 합한 것이 2인 경우의 GM과 3인 경우의 GM을 합한 것과 같아야 한다는 의미이다.

https://www.quora.com/Why-is-a-matrix-diagonalizable-if-the-algebraic-multiplicity-is-equal-to-the-geometric-multiplicity-What-does-it-mean-with-a-concrete-example

Why is a matrix diagonalizable, if the algebraic multiplicity is equal to the geometric multiplicity? What does it mean with a c

여기에 교수님이 답변하신 자세한 답변이 있으므로 (예시도 있음) 참고하도록 하자.

 

이를 이용한 example이 위의 사진에서와 같이 적용되는 것이다.

 

4.5에서의 example에 이를 적용해서 풀이를 진행해보겠다. 

 

 

 

마지막으로 위에서 언급했듯이 \(A \in F^{n \times n}\) matrix A가 n개의 distinct eigenvalue를 가질 때, A는 diagonalizable한지에 관한 증명을 끝으로 이번 장은 마무리하겠다.

 

pf) 간단하게 이는 am 합과 gm 합이 일치하기 때문이다.

 

그래서 우리는 왜 diagonalization을 배우는가?

한 문장으로 얘기하자면 계산을 편리하게 하기 위함이다. Ax = b를 계산할 때, 전에는 일일이 gauss elimination으로 계산했다면, \(A=XDX^{-1}\)을 만족하면 A는 diagonalizable하는 것을 알 수 있으며 다음을 적용해서 x를 빠르게 구할 수 있다. 

\(y = X^{-1}x, c = X^{-1}b\)이고, original system이 Dy = c로 매우 간단해졌다. 여기서 \(x = Xy\)로 x, 해 계산이 전보다 매우 용이해졌다.