[선형대수학] Ch 6.3 - Orthogonal vectors and bases

우리가 흔히 알고 있는 (nonzero) vector x, y 에 대한 내적, <x,y>은 다음과 같다.

$$x\cdot y=||x|{|}_2||y|{|}_{2}cos(\theta )$$

$\theta$는 x,y 사이의 angle이다. 여기서 $\theta$가 90도이면, 내적이 0인 것 또한 기하를 어느 정도 알고 있는 학생이면 잘 알 것이다. 즉, <x, y>=0일 때, 필요충분조건으로 다음을 만족한다.

$$||x+y|{|}^2=||x|{|}^2+||y|{|}^2,||x-y|{|}^2=||x|{|}^2+||y|{|}^2$$

$$||x+y|{|}^2=<x+y,x+y>=<x,x>+2<x,y>+<y,y>=||x|{|}^2+2<x,y>+||y|{|}^2=||x|{|}^2+||y|{|}^2$$

x-y 일 때도 같다.

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Orthogonal Bases

$u_1,\cdots u_k$가 V의 orthogoanl subset(V에 수직인 부분공간)일 때, 이 집합은 linearly independent하다는 것이다.

pf) $c_1,c_2\cdots c_k$가 real number 집합이라고 하고, 다음을 만족한다고 하자. 저 집합이 linearly independent하다고를 고려해서 다음을 만족한다고 하자.

$$c_1{u}_1+c_2{u}_2+\cdots +c_k{u}_k=0$$

$u_j$과 내적하면, 

$$<c_1{u}_1+c_2{u}_2+\cdots +c_k{u}_k,u_j>=<0,u_j>$$

$$\Rightarrow c_1<u_1,u_j>+c_2<u_2,u_j>+\cdots +c_k<u_k,u_j>=0\cdots (1)$$

u vector 집합은 orthogonal subset 집합이므로 i $\ne$ j 를 제외하고, 나머지 벡터끼리의 내적은 0이 된다. 즉, (1)은 다음과 같이 정리된다. 

$$||u_j|{|}^2{c}_j=0$$

orthogonal set이므로 $u_j$은 nonzero vector이다. 그러므로  $c_j$ = 0이어야 한다. j=0부터 k까지를 만족해야 하며, 벡터에 곱해지는 상수가 전부 0이 되는데, u 벡터 집합이 linearly independent하다는 이론은 증명됐다.

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본격적으로 이 orthogonal basis 구하는 방법을 알아볼 것이다. 

pf)

v와 $u_j$를 내적해보자. 6.13의 양변에 적용하면,

$$<v,u_j>=<{\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\cdots +{\alpha }_n{u}_n,u_j>$$

$$={\alpha }_1<u_1,u_j>+{\alpha }_2<u_2,u_j>+\cdots +{\alpha }_n<u_n,u_j>$$

i $\ne$ j 를 제외하고, 나머지 벡터끼리의 내적은 0이 되므로(orthogonal basis 이기 때문) $<v,u_j>={\alpha }_j<u_j,u_j>$. 즉, 다음을 만족한다.

$${\alpha }_j=\frac{<v,u_j>}{<u_j,u_j>}$$

만약, basis들이 standard basis이면, $\alpha$ 식에서 분모는 1이므로 ${\alpha }_j=<v,u_j>$로 간단하게 나타낼 수 있다.

 

예시를 보면서 더 이해를 높여보자.

위의 u 벡터들은 $R^3$에서 orthogonal basis를 생성한다고 하자. $v=(1,3,-1)$과 내적을 해보자. 

 

Dot product 말고 polynomial product일 때도 보자.

위의 조건에서 $q(x)=x^2+2x+3$인 것을 고려해서 q(x)와 P를 내적한 것을 구해보자.