[선형대수학] Ch 6.2 - The adjoint(수반연산자) of a linear operator

Transpose를 이용한 inner product와 이를 확장해서 linear operator일 때도 볼 것이다.
$A\in F^{mtimesn}$일 때, $A$의 transpose, $A^T$에 대해서 다음과 같이 정의된다.
$$(A^T{)}_{ij}=A_{j}i,i=1,2,\cdots m$$
$A\in R^{m\times n},x\in R^n,y\in R^m$에 대해 
 
$$(Ax)\cdot y=\sum _{i=1}^m(Ax{)}_i{y}_i=\sum _{i=1}^m(\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_j)y_i=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_j{y}_i$$
\[\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} A_{ij}x_jy_i = \sum_{j=1}^{n}  (\sum_{i=1}^{m} A_{ij}y_i) x_j = \sum_{j=1}^{n}(A^{T} y)_j x_j = x \cdot (A^{T} y) \]
위의 증명을 통해 다음 이론이 만족함을 알 수 있다.

Null space와 A transpose와 A column 사이의 관계 -> 0 벡터 밖에 없음

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The adjoint of a linear operator
$A\in R^{m\times n}$이고, linear operator T : $R^n\text{Rightarrrow}{R}^m$에 대해 $T(x)=Ax$을 만족한다고 하자. 또한, linear operator S : $R^m\Rightarrow R^n$에 대해 $S(y)=A^{T}y$을 만족한다고 하자. 
Euclidean dot product를 이용해 Linear operator를 나타내면, 
$$<T(x),y>=<x,S(y)>forallx\in R^n,y\in R^m$$
여기서 unique operator S를 adjoint of T라고 부른다. 
 
이때까지는 점 곱(dot product)만 나타냈다면, 이 점 곱 내적을 행렬로 나타낸 것을 Gram Matrix라고 한다.

Gram matrix는 내적(inner product)의 특성을 행렬로 나타낸 것으로, 행렬의 열 벡터들 간의 내적으로 이루어진 정방 행렬입니다. 
Gram matrix는 nonsingular matrix, 즉, determinant가 0이 아닌데, 그와 관련된 이론은 다음과 같다.

pf) $x\in R^{n}Gx=0$이라고 하자. 

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6.1에서 적용하던 성질을 Linear operator에 적용해볼 것이다.

이것은 Linear operator와 중요한 이론으로 교과서의 사진을 증명으로 제시하겠다. 

설명을 하자면,
 
 

연습문제