[선형대수학] Ch 6.2 - The adjoint(수반연산자) of a linear operator

Transpose를 이용한 inner product와 이를 확장해서 linear operator일 때도 볼 것이다.
\(A \in F^{m\ times n} \)일 때, \(A\)의 transpose, \(A^{T}\)에 대해서 다음과 같이 정의된다.
\[(A^{T})_{ij} = A_ji, \quad i=1,2, \cdots m \]
\(A \in R^{m \times n}, \quad x \in R^{n}, y \in R^{m}\)에 대해 
 
\[(Ax) \cdot y = \sum_{i=1}^{m}(Ax)_i y_i = \sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_j) y_i = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_jy_i \]
\[\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} A_{ij}x_jy_i = \sum_{j=1}^{n}  (\sum_{i=1}^{m} A_{ij}y_i) x_j = \sum_{j=1}^{n}(A^{T} y)_j x_j = x \cdot (A^{T} y) \]
위의 증명을 통해 다음 이론이 만족함을 알 수 있다.

Null space와 A transpose와 A column 사이의 관계 -> 0 벡터 밖에 없음

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The adjoint of a linear operator
\(A \in R^{m \times n}\)이고, linear operator T : \(R^{n} \Rightarrrow R^{m}\)에 대해 \(T(x) = Ax\)을 만족한다고 하자. 또한, linear operator S : \(R^{m} \Rightarrow R^{n}\)에 대해 \(S(y) = A^{T} y\)을 만족한다고 하자. 
Euclidean dot product를 이용해 Linear operator를 나타내면, 
\[<T(x), y> = <x, S(y)> \quad for \quad all \quad x \in R^{n}, y \in R^{m}\]
여기서 unique operator S를 adjoint of T라고 부른다. 
 
이때까지는 점 곱(dot product)만 나타냈다면, 이 점 곱 내적을 행렬로 나타낸 것을 Gram Matrix라고 한다.

Gram matrix는 내적(inner product)의 특성을 행렬로 나타낸 것으로, 행렬의 열 벡터들 간의 내적으로 이루어진 정방 행렬입니다. 
Gram matrix는 nonsingular matrix, 즉, determinant가 0이 아닌데, 그와 관련된 이론은 다음과 같다.

pf) \(x\in R^{n} \quad Gx =0 \)이라고 하자. 

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6.1에서 적용하던 성질을 Linear operator에 적용해볼 것이다.

이것은 Linear operator와 중요한 이론으로 교과서의 사진을 증명으로 제시하겠다. 

설명을 하자면,
 
 

연습문제