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이전까지는 vector space를 basis로 쪼갰다면, 이제는 vector space를 subspace들로 쪼개보겠다. 이와 관련된 정의는 다음과 같다.
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/bEdOkX/btsBbIi4QMX/CJf7WXpEchkM9Zb0Wvm2V0/img.png)
여기서 V가 내적 공간이고, S가 nonempty subset이면, S-perp 또한, zero vector 포함, addition, scalar mutliplication이 가능하면서 V의 subspace가 된다.
이와 관련된 예시를 보자.
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/WaH7Y/btsBbDWpKQ2/GX6aVzpJiyDKdwu9l0rVpk/img.png)
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/uTWzR/btsBcQA9y4z/DRAJkO8A2ZKQTdnBECFnik/img.png)
Orthogonal한 subspace 사이들의 특징을 알아보자.
1. S & T가 V의 orthogoanal subspace이면 \(S \cap T = {0} \)이다.
2. (\(S^{⊥}\))\(^{⊥}=S\)
3. S, T 모두 V의 subspace이면, S+V 또한 subspace라는 사실은 이전 챕터들에서 증명했다. S와 T가 orthogonal subspace들일 때는 S와 T의 direct sum으로 S⊕T 기호를 쓴다.
4. S, T가 V의 orthogonal subspace이면, \(dim(V) = dim(S) + dim(T)\)을 만족한다.
5. \(V = S ⊕ S^{⊥}\)을 만족한다.
3. 증명
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/bpuKEM/btsA8OKVmVv/Gh8NapTmcCEIk24GcpOjU1/img.png)
5. 증명
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/cYmbg2/btsA9Vwgagc/rXpu6kRAHt0A8eOEMn2540/img.png)
Fundamental Theorem을 이용하면, T*을 T:X -> U의 linear operator perp이라고 하자. 다음 성질을 만족한다. 증명도 같이 제시했다. rank(T) + nullity(T) = dim(X)임을 잊지 말자.
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/0Lo85/btsBfbdHLmP/3o5BhQqZfFTsA45QxAJtJ1/img.png)
Fundamental Theorem과 관련해 여러 성질을 제시하고 끝 마치겠다.
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/cliyoi/btsBfdWWpnA/6lJwHejlW4KoDvqZC9Ffm1/img.png)
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/C6MCs/btsA9QaEauE/7bpGFQGcz3xWIsfpFKOWd0/img.png)
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/bj9rXe/btsBfbEMGR8/r3XSbv6bU1pZsc39ax1l6k/img.png)
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/I2tFW/btsBCmsaqvF/gOgwbhdnMkAadFbuZsQKEK/img.jpg)
![](https://blog.kakaocdn.net/dn/bPnzFK/btsBBmlTPcN/EjD6pTyl2XwtZqPYLkLGgK/img.jpg)
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