[선형대수학] Ch 6.7 - Complex inner product spaces

 

 

이번에는 Complex number로 확장해서 알아보겠다. 전에 정의된 Inner product 정의가 complex number에서는 조금 다르게 정의된다.

1. 의 성질을 만족하는 complex inner product를 Hermitian form 라고 한다. 2.를 포함해 다음을 만족하면, \(<\cdot, \cdot>\)을 sesquilinear form 라고 한다.

위의 성질을 1. , 2. 을 둘 다 만족하면 Hermitian sesquilinear form 이라고 부른다. 

---

이제 내적에 기반한 Norm을 정의보자. 그 전에 Cauchy-Schwarz 부등식을 만족해야지 Norm의 여러 성질들을 만족할 수 있다. Cauchy-Schwarz 부등식을 충족시키지 않는다면, 벡터의 Norm이 음수가 될 수 있거나, Norm의 성질을 잃을 수 있습니다. 따라서 Norm을 적절히 정의하려면 Cauchy-Schwarz 부등식이 만족해야 하며, 이는 벡터의 Norm이 항상 음수가 아니며, 벡터 공간에서 원하는 성질과 일관성을 유지하기 위한 필수적인 조건인 것이다. 

pf) \(u, v \in V\), v=0이면, 6.29 식은 양변이 0이므로 만족한다. \(v \neq 0\)일 때, \(<v, v> \neq 0\)이므로 lambda를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\[ \lambda = \frac{<u,v>}{<v,v>}\]

또한, 원래 inner product 정의에서 \(0 \leq <u-\lambda v, u - \lambda v>\) 을 만족한다. 여기에 lambda를 대입하면, 다음과 같이 된다. 

Q.E.D.

---

Examples of complex inner product spaces

complex Euclidean n-space를 다음과 같이 정의한다.

\[C^{n} = {(z_1, z_2, \cdots, z_n) : z_1, z_2, \cdots z_n \in C}\]

Hermitian dot product는 다음과 같이 나타낸다.

\[<u,v>_{C^{n}} = \sum_{i=1}^{n} u_i \bar{v}_i \quad for \ quad all \quad u, v \in C^{n}\]

 

여기서 왜 켤레복소수를 곱하냐?

크기는 켤레 복소수를 곱해야지 허수부에 곱해진 상수 제곱이 가능하면서 정의에 부합하게 된다. 다음 식처럼 말이다.

보통 Norm은 L2-Norm으로 복소수 함수에서도 다음과 같이 정의된다. 

---

Orthogonality in complex inner product spaces

complex에서도 다음이 만족한다.

전개하면 바로 증명가능할 것이다.

또한 projection에 관해서도 real 일 때와 똑같이 정의된다.

예시를 보자.

---

The adjoint of a linear operator

이제 linear operator인 경우를 보자. 

pf)

 

Transpose를 적용하면 다음을 만족한다.

\(L*(y) = \bar{A}^{T} y \quad for \quad all \quad y \in C^{m}\) 라고 한다. 또한 A에 대해서도 \(A* = \bar{A}^{T}\)라고 한다. 

이와 앞서 얘기한 A를 이용하여 다음과 같은 이론도 정의할 수 있다.