[선형대수학] Ch2.1 - Fields

 

 

F에 대한 정의 전 앞으로 나올 기호에 대한 정리를 하겠다.

• \( \mathbb{N} \) 자연수의 집합
• \( \mathbb{Z} \) 정수의 집합
• \( \mathbb{Q} \) 유리수의 집합
• \( \mathbb{R} \) 실수의 집합
• \(\mathbb{C} \) 복소수의 집합

체란 다음의 모든 명제가 성립하는 대수구조 ⟨F,+,⋅⟩ 을 의미한다.

1.  임의의 두 원소 \(\alpha, \beta \in F\)에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다. \[ \alpha + \beta = \beta + \alpha \]
2. 임의의 세 원소 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다.  \[ \alpha + (\beta+\gamma) = (\alpha + \beta ) + \gamma \]
3. 임의의 원소 \(\alpha \in F\) 에 대하여 덧셈에 대한 항등원 \(0 \in F\)  이 존재한다. \[ 0 + \alpha = \alpha\]
4. 각 원소 \(\alpha \in F\)  에 대하여 다음을 만족하는 \(\alpha\)의 덧셈에 대한 역원 \(-\alpha \in F\)   이 존재한다. \[ \alpha + (-\alpha) = 0 \] 
5. 임의의 두 원소 \(\alpha, \beta \in F\) 에 대하여 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. \[ \alpha\beta = \beta\alpha \]
6. 임의의 세 원소 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\)  에 대하여 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다. \[ \alpha(\beta\gamma) = (\alpha\beta)\gamma \]
7. 임의의 원소 \(\alpha \in F\)  에 대하여 곱셈에 대한 항등원 \( 1 \in F \)  이 존재한다. \[ 1\alpha = \alpha \]
8. 0이 아닌 각 원소 \(\alpha \in F\)  에 대하여 다음을 만족하는 \(\alpha\) 의 곱셈에 대한 역원 \(\alpha^{-1} \in F \)이 존재한다. \[ \alpha\alpha^{-1} = 1 \]
9. 임의의 세 원소 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\)  에 대하여 분배법칙이 성립한다. \[ \alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma \] \[ (\alpha + \beta) \gamma = \alpha\gamma + \beta\gamma \]

너무 당연한 말들을 하는 것 같지만 실제로 이보다 더 포괄적인 대수구조로 나아가면, 덧셈, 곱셈 법칙이 성립하지 않는다는지의 상황이 발생할 것이다. 대수구조까지 배우는 것은 아니기에 그냥 아~ 이 조건들을 만족하면, Field라고 하는구나~하고 넘어가자. 이후 연습문제에서 확인할 것이다.

그리고 특이한 점이 있다. 바로 +, ⋅ 만 사용한다는 것이다. a-a=0 이렇게 쓰면 안되고, a + (-a) = 0 이렇게 써야 한다. 규칙이 있다하니 나도 이걸 배울 때는 그래야 하는구나..하고 넘어갔다. 왜냐하면, 더 알아가면 분명 내용이 너무 깊어서 헤맬 것 같아서 마치 1+1=2인 것처럼 받아들이고 넘어갔다. 

 

정리하면 만약 F가 field라고 하면, 다음을 만족한다. 

 

1. 덧셈, 곱셈 항등원이 존재한다. 위에서의 3, 7을 통틀어 일컫는 말이다. 근데, 이러한 "0"과 "1"이 체 내에서 오직 하나만 존재한다.
2.  \(\alpha \in F\) 에서 덧셈 역원(additive inverse) \(-\alpha\)가 유일하게 존재한다.
3.  \(\alpha \in F, \alpha\neq 0\) 에서 곱셈 역원(multiplicative inverse) \(\alpha^{-1}\)가 유일하게 존재한다. 
4. 만약 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 이고, \(\alpha\gamma = \beta\gamma\) 이면, \(\gamma \neq 0, \alpha=\beta\)이다.
5. 만약 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 이고, \(\alpha + \gamma = \beta + \gamma\) 이면, \(\alpha=\beta\)이다.
6. \(\alpha \in F\) 에 대해서 \(0 ⋅ \alpha = 0\) 과 \( -1 ⋅ \alpha = \alpha \)이다. 

1. Proof) 간단하게 만약 z와 0이 F 내에서의 덧셈 항등원이라면, z는 덧셈 항등원이기에 0+z=0이고, 0 또한 그러하기에 z+0=z 이다. 덧셈은 교환법칙이 성립하기에 z = z + 0 = 0 + z = 0 으로 z와 0은 동일시되며 덧셈 항등원은 unique하게 존재한다. 

2. Proof) \(\alpha\ \in F\)에서  \(\beta \in F\)의 \(\beta\)는 \(\alpha\)의 곱셈 역원이라고 하면, \( \alpha + \beta = 0\)이다. 

양변에 \(-\alpha\)를 더하면 \[ -\alpha + (\alpha + \beta) = -\alpha +0 \Rightarrow (-\alpha + \alpha) + \beta = -\alpha \Rightarrow  0 + \beta = -\alpha \Rightarrow  \beta = -\alpha \]

3. Proof) 2와 유사.

4. Proof) 만약 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 이고, \(\alpha\gamma = \beta\gamma\) 이면, \[ (\alpha+\gamma) + (-\gamma) = (\beta + \gamma) + (-\gamma) \Rightarrow \alpha + (\gamma + (-\gamma)) = \beta + (\gamma + (-\gamma)) \Rightarrow \alpha + 0 = \beta + 0 \Rightarrow \alpha = \beta \]

5. Proof) 4와 유사.

6. Proof) \(\alpha \in F\) 에서 덧셈 항등원이 성립한다는 것을 알고 있다. 양변에 \(\alpha\)를 곱하면, \[ (0+\alpha)\alpha = \alpha ⋅ \alpha \] 여기에 분배법칙이 적용되면, \[ (0 \cdot \alpha) + (\alpha \cdot \alpha)  = \alpha \cdot \alpha \]
\(0 \cdot \alpha = 0\)이고, 6번 증명을 위해선 \(\alpha + (-1) \cdot \alpha = 0\) 과  \(\alpha = 1 \cdot \alpha\) 을 이용하자. \[
\alpha + (-1) \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha + (-1) \cdot \alpha = (1 + (-1))\alpha = 0 \cdot \alpha = 0
\]

 

체의 다른 성질 또한 다음 이론을 만족한다.

교수님께서 추가로 설명해주신 특이한 내용이 있다.

바로 Division Algorithm이다. 밑의 사진으로 설명하겠다.