[선형대수학] Ch2.2 - Vector Spaces

 

 

이제 F 안에서의 Vector space에 대해 정의할 것이다. Vector space는 다음 8가지 조건을 만족하는 additive(sum), scalar multiplication을 가지는 집합이다. 

 

  (i) 합(sum)은 V 의 두 원소 u, v에 대하여 유일한 원소 \(u+v \in V) 를 대응하는 연산이다. u+v 는 u 와 v 의 합이다.
  (ii) 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 F 의 원소 a 와 벡터공간 V 의 원소 u마다 유일한 원소 \(au \in V\) 를 대응하는 연산이다. 이때, \(au\) 는 a 와 u 의 스칼라 곱이다. 

이 두 개는 벡터 공간의 전제로 이를 만족하고 다음 조건들도 만족해야지 vector space라고 할 수 있다. 

 

1. 모든 \(u, v \in V\)에서 \( u + v = v + u\)이다. 덧셈의 교환법칙
2. 모든 \(u, v, w \in V\)에서 \(u + (v + w) = (u + v) + w\)이다. 덧셈의 결합법칙
3. 모든 \(u \in V\)에서 \(u+0=u\)를 만족하는 \(0 \in V\)가 존재한다. 덧셈의 항등원
4. 각 \(u \in V\)에 대해 \(u + (-u) = 0 \)을 만족하는 덧셈의 역원 \(-u \in V\)가 존재한다. 
5. 모든 \(\alpha, \beta \in F, u \in V \)에 대해 \(\alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u\). scalar multiplication의 결합법칙
6. 모든 \(\alpha \in F, u,v \in V\)에 대해 \(\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v\). 분배법칙
7. 모든 \(\alpha, \beta \in F, u \in V\)에 대해 \((\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta u\). 분배법칙
8. 모든 \(u \in V\)에 대해 \(1u = u\)을 만족하며 1은 체 F의 곱셈의 항등원이다. 

 

2.1에서 본 것처럼 체의 정의와 같이 너무 당연하게 여길 만하다. 하지만, 더 상위 범위로 가면, 이를 만족하지 않는 집합이 나온다. 밑의 사진은 대수구조에 관한 사진으로 파란색으로 표시한 부분이 vector space이다.

V가 F를 넘어서 vector space를 만족하면 다음 특성들을 만족한다.

1. V에 대한 덧셈 항등원은 0이 유일하다.
2. 각 \(u \in V\)에 대해 덧셈의 역원 \(-u\)은 유일하다.
3. 만약 \(u, v \in V\) 이면, \(-(u+v) = -u + (-v)\)을 만족한다.
4. 만약  \(u, v, w \in V\) 과 \(u + v = u + w\)을 만족하면, \(v=w\)이다. 
5. 만약 \(\alpha \in F\)이고, 0이 V의 zero vector이면, \(\alpha 0 = 0\)이다.
6. 만약 \(\alpha \in F\), \(u \in V\) 이고, \alpha u = 0 이면, \(\alpha = 0\) 또는 \(u = 0 \)이다. 
7. 각 \(u \in V\)에 대해 \(0u = 0, (-1)u = -u \)를 만족한다. 

증명은 체의 증명과 비슷하다. 

 

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Vector Space의 example 에 대해 알아보자. 1장에서 가볍게 설명했듯이 n-space, \(\textbf{R}^{n}\)은 

\[
\mathbf{R}^{n} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} : x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbf{R}
\]

\[ \alpha \in R, x \in R^{n}, \alpha x = \alpha  \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \vdots \\ \alpha x_n \end{bmatrix} \]

로 scalar multiplication이 성립하고, 

\(x, y \in \mathbb{R}^n\)에서
\[x + y = 
\begin{bmatrix}
x_1 \\ 
x_2 \\ 
\vdots \\ 
x_n
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1 + y_1 \\
x_2 + y_2 \\
\vdots \\
x_n + y_n
\end{bmatrix}
\]

이렇게 vector additive과 scalar multiplication에 대해 성립한다.