11. 1 Fourier Series

11.1 Fourier series에 대해 알아볼 것이다.

Fourier Series란? 무한한 series로 cos과 sin으로 이루어진 주기함수이다.

양수 p에 대해 주기 p를 가진 f(x)는

\[f(x+p)=f(x)\]

가장 작은 positive period(여기서는 p)를 fundamental period 라고 부른다. 우리에게 익숙한 주기 함수는 cos, sin, tan 등이 있다. 이들을 삼각함수(trigonometric system)이라고 한다. 

이 삼각함수를 series, 열로 표현하면, 삼각급수(trigonometric series) 라고 한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

\[a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_ncosnx+b_nsinnx)\]

여기서 \(a_0, a_1, b_1, b_2...\) 은 상수이며, 이들은 series의 계수(coefficient)라고 불린다. 

위의 각 삼각함수는 fundamental period는 다르지만, 주기가 \(2\pi\)라고 할 수 있다. sin2x는 fundamental period가 \(\pi\)이긴 하지만, \(2\pi\)를 주기라고 할 수 있는 것처럼 말이다. 이 series가 수렴하게 계수들이 정해진다면 해당 함수는 주기 \(2\pi\)의 함수로 표현할 수 있음을 뜻한다. 즉, 주기가 \(2\pi\)인 함수도 삼각급수의 합으로 표현할 수 있다는 의미이다. 이를 Fourier Series 라고 한다. 

\[f(x)= a_0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_ncosnx+b_nsinnx)\] 

그리고 이들의 계수를 Fourier coefficient라고 불리며, Euler formulas로 구해지며 이를 표현하면,  

\[a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \]

\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)cosnxdx \]

\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sinnxdx \]

Example 1. 

사실 \(a_n\) 일일이 안 구해도 f(x)cosnx가  odd function이기에 0임을 바로 알 수 있다.

위에서 말한 sum의 의미란 이렇게 partial sum이 계속 합해지다보면, 문제에 언급되는 rectangular wave 처럼 수렴한다는 의미이다. 

 

이제 위의 계수의 식인 Euler Formulas에 관한 증명을 해보자.

Theorem 1. 

계수와 그에 해당하는 식(\(a_1 -- cosx\) 과 \(b_1 -- sinx ...\) 처럼 ) 직교성 (orthogonality)를 지닌다고 한다. 무슨 의미일까..벡터 공간(vector space)으로 확장해서 생각해보자. \({u_1, u_2, u_3...,u_n}\)와 같이 orthogonal basis를 가진 v ∈\(R^n\) 에 대해 \(v=c_1u_1+c_2u_2 ..+c_nu_n\) 으로 표현 가능하고, <\(u_i, u_j \)> = 0 (if i ≠ j) 이면 orthogonality를 지닌다고 할 수 있다. 여기 Theorem 1 에서는 < \(f, g\) > = \(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f g dx \) 라는 의미로 (a), (b), (c)가 성립한다는 것이다.  한 마디로 정리하자면 내적이 0인 것에 대해 orthogonality가 성립한다고 할 수 있다. 0이 성립하는지는  고등학교 수준에서 계산하면 된다. 

Theorem 1으로 Fourier coefficient들을 증명하면,

\[
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} [a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))]dx
\]

이렇게 orthogonality를 이용해 Fourier coefficient 식 증명을 해보았다. 이번 장의 마지막 Theorem 2에 대해 알아보자.

Theorem 2.

Fourier series의 수렴과 합에 관한 이론으로, 구간 \(-\pi ~\pi\)에서 \(f(x)\) 는 주기 \(2\pi\)를 가지고, 정의역에서 piecewise 연속(옆의 그림처럼 정의역에서 일부 구간은 불연속한 지점 있어도 됨. 하지만 좌극한, 우극한은 존재해야 함.)이고, 좌미분, 우미분이 존재할 때, Fourier series는 수렴한다. 또한, 이 구간 내의 어느 \(x_0\) 지점에서 \(f(x)\)의 좌극한, 우극한의 평균이 series의 합이라는 것이다. 

합이 좌극한, 우극한 평균이라는 증명은 학부 과정에서 벗어나기에 다루진 않는다. 이로써 Fourier series가 특정 조건을 만족할 때 수렴한다는 것을 알았다. 

다음 장은 주기가 \(2\pi\)가 아닌 임의의 주기일 때의 경우를 알아본다.