[선형대수학] Ch 3.1 - Linear Operators

 

 

이제 Linear Transformation에 대해 배워볼 것이다.

우선 정의는 다음과 같다.

\(F- vector space  X, U\)에서 \(L : X \to U\)라고 하면, 다음 두 조건을 만족하면 L은 Linear하다. 
1. \(L(\alpha x) = \alpha L(x)\)  for  all  \(\alpha \in F, x \in X\)
2. \(L(x+y) = L(x) + L(y)\) for all \(x, y \in X\)

L을 Linear Operator라고 한다.

\(F\)- vector space \(X, U\)에서 \(L : X \to U\)인 Linear Operator L에서 \(x_1, x_2, \cdots x_k \in X\), \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_k\)인 scalars에 대해 다음 식이 성립한다. 
\[L(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_k x_k) = \alpha_1 L(x_1) + \alpha_2 L(x_2) + \cdots +\alpha_k L(x_k)\]

증명은 연습문제 15에서 풀어볼 것이다.

다음은 Linear Operator에 대한 특징들을 정리해볼 것이다.

\(F\)- vector space \(X, U\)에서 \(L : X \to U\)인 Linear Operator L이라고 하면, L(0) = 0. 

증명) x를 X에 속하는 벡터라고 하자. 선형성에 의해 L(0 ·x) =0 · L(x). zero scalar를 곱하면, 0이 되는 것은 앞에서 이미 다 증명했다. 0 · x = 0 그리고, 0 · L(x) = 0. 그러므로 L(0 ·x) =0 · L(x) = 0. 

이제 여러 Linear Operator를 연결한 이론은 다음과 같다.

\(F\) - vector space \(X, U, Z\)에서 \(L : X \in U\)과 \(M : U \in Z\) Linear Operator이라고 하면, \(ML\) 또한 Linear Operator이다.

증명) \(ML(\alpha x) = M(L(\alpha x)) = M( \alpha L(x)) = \alpha M(L(x)) = \alpha(ML)(x) \)  for all \(\alpha \in F, x \in X\)

\((ML)(x+y) = M(L(x+y)) = M(L(x) + L(y)) = M(L(x)) + M(L(y)) = (ML)(x) + (ML)(y)\) for all \(x, y \in X\)

 

이제 Matrix Operators에 대해 알아볼 것이다.

\(m\times n\) matrix \(A\)에 대해 field F에 대해 \(A_{ij}, i = 1, 2, \cdots m,  j = 1, 2, \cdots n \)에 대해 다음과 같이 표현한다.
\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots  \\ A_{m1}& A_{m2} & \cdots & A_{mn} \\ \end{bmatrix} \]

앞 절에서 얘기했다시피, \(A_i\)은 A의 i th row, \(A^{j}\)는 B의 j th column. 

자세한 것은 밑의 노트 필기 참고하자.

내적에 관한 정의는 다음과 같다.

\(A \in F^{m \times n}, x \in F^{n}\)라고 하자. Matrix-vector product(내적) \(F^{m}\)에서 \(Ax\)은 다음과 같이 정의된다. 
\[ Ax = \sum_{j=1}^{n} x_j A_j \]
\(x_1, x_2 \cdots x_n\) 은 \(x\)의 요소이고, \(A_1, A_2, \cdots A_n\)은 \(A\)의 열이다. \(Ax\)은 \(A\)의 열의 선형 결합이다. \(x\)를 가중치라고도 할 수 있다.

또한 차원 변화에 대한 정의도 다음과 같다.

\(F\)를 체라고 하고, \(A \in F^{m \times n}\)일 때 \(L(x) = Ax\)에 의해 \( L : F^{n} \to F^{m}\)이라면 \(L\)은 Linear Operator이다.

마지막으로 matrix-vector multiplication의 선형성을 이용할 것이다. (ML)(x) 가 \(BA_1, BA_2, \cdots BA_n\) vectors들의 선형 결합이라고 하면, ( \(A_1, A_2, \cdots A_n\)은 \(A\)의 열) \((ML)(x) = Cx, C = [BA_1 | BA_2 | \cdots |BA_n ] \) 라고 할 수 있다. B는 pxm, 그리고 \(A_j\)는 m-vector이기 때문에, \(BA_j\), j = 1, 2, 3 .. n 은 p-vector가 되는 것이다. 차원이 m으로 변한된다라고 생각하면 된다. 그러므로 C는 pxn이며 우리는 이를 정리하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

\(F\)-field에 대해 \(A \in F^{m \times n}, B \in F^{p \times q}\)라고 하자. 만약 q=m이면, matrix-matrix 내적 \(BA \in F^{p \times n}\)에 대해 다음과 같이 정의된다.

\[ BA = [BA_1 | BA_2 | \cdots |BA_n ] \]

\( q \neq m\)이면, BA는 정의되지 않는다.

흔히 우리가 아는 벡터 곱을 정의해놓은 것이라 생각하면 된다. A는 3x2인데, B는 3x4이면 AB 벡터 내적은 정의되지 않는 것을 위의 이론으로 표현한 것이다.