12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series

위의 사진과 같은 string의 함수를 구하는 데에 One-dimensional wave equation이 필요하며, 이는 PDE로 나타낸다.

\[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \]

이 방정식을 구할 때 알아야 할 조건이 있다. Boundary Condition과 Initial condition을 고려해야 한다.

위의 Wave equation을 이용해서 알아볼 것이다.

 

Step 1. Two ODEs from the Wave eq.

Step 2. Satisfying the Boundary Conditions

이 함수를 eigenfunctions라고 부르며 \(\lambda _n = \frac{cn\pi}{L}\)을 eigenvalues라고 부른다. 이 함수는 finite에 대해서는 만족하지만, infinite 일 때는 불만족하기에 boudary condition만 만족하고, initial condition일 때는 만족하지 못한다. 그러기에 infinite series를 이용해서 infinite일 때도 만족하고, 이를 통해 initial condition일 때도 만족하는 일반 함수를 구하고자 한다. 

Step 3. Solution of the Entire Problem. Fourier Series 

g(x)=0이라는 의미는 initial velocity 를 0으로 지정했을 때로 가정한 것이다. 간단하게 하기 위해 문제에서 initial velocity 0이라는 말이 주어져 있으면, Bn*은 고려하지 않아도 된다.