12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problems.

Heat Equation에도 똑같이 적용해서 진행할 것이다. 

앞의 string이 x=0부터 x=L까지 one-dimensional wave equation이었다면, 여기는 x=0부터 x=L까지의 bar에서의 one-dimensional heat equation에 대해 알아볼 것이다. 

앞의 wave eq은 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)이었다면, heat eq은  \(\frac{\partial u}{\partial t} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\) 으로 wave는 u를 x에 대해 두 번 미분, heat은 1번만 미분했다고 생각하면 된다.

이 또한 마찬가지로 boundary condition과 initial condition을 만족해야 한다. Boundary condition으로, u(0, t)=0, u(L,t)=0 for 모든 양수 t를 만족하면 된다. Initial condition은 u(x, 0) = f(x)을 만족하면 된다. 

Step 1. Two ODEs from the heat eq.

Step 2. Satisfying the boundary conditions

\(u_n(x,t)\)은 eigenfunction으로 \(\lambda_n = \frac{cn\pi}{L}\)은 eigenvalues이다. 이 또한 12.3과 마찬가지로 inifinite에서도 만족하며, initial condition도 만족해야 하므로 step 3으로 넘어간다.

Step 3. Solution of the entire problem. Fourier series. 

 

 

Bar with Insulated Ends. Eigenvalue 0

특수한 상황, boundary condition이 변하는 상황에서의 heat eq에 대해서도 알아보자. 

heat equation (\frac{\partial u}{\partial t} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\) 과 boundary condition \(u_x(0, t) = u_x(L, t) =0 \) & \( u(x, 0) = f(x) \)가 주어졌다고 하자.

 

Steady Two-Dimensional Heat Problems. Laplace's Equation

시간이 변해도 일정하다는 조건으로 시간에 independent하니 t에 대해 미분하면 0이다. 한 차원을 늘려서 구하는 것이 가능하다.