13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots

 

이번에는 Complex Numbers를 Polar form으로 나타내보도록 하겠다. 

x,y 를 \( r, \theta \)로 변환하면, 다음과 같이 표현된다.

\[x=rcos\theta, y=rsin\theta\]

이를 z, complex number의 polar form과 크기(absolute value 또는 modulus로 불림)는 다음과 같다.

\[z=r(cos\theta + i sin \theta) \]

\[ \left| z \right| = r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{z\bar{z}} \]

여기서 \(\theta\)는 argument of z 라고 하며, \(\theta = arg\) \(z\)로 나타낸다. 

\[ tan\theta = \frac{y}{x} \]

\(z=0\)이면, \(\theta\)는 기본적으로 주기성이 포함된 채 (\(-\pi < Arg\)\(z=\theta \leq \pi\)) 정의가 되는데, z=0이면, 길이가 0인지라 주기성을 포함한 채로  \(\theta\)는 정의할 수 없으므로 undefined 된다. \(arg\) \(z= \theta + 2n\pi\) 즉, z=x>0 이면, arg z = 0 (실수 부분만 존재하기 때문에 Re axis 양수 위의 점이며 counterclockwise angle = 0 ), z=x<0이면, arg z =\(\pi\) (이 또한 실수 부분만 존재하며 Re axis 음수 위의 점이며 counterclockwise angle = \(\pi\))이다.

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Triangle Inequality

\[ \left|z_1 + z_2 \right| \leq \left|z_1\right| + \left|z_2\right|\]

여기 자명한 식에서 다음과 같은 식도 알 수 있다.

 n까지라고 하면, \[ \left|z_1 +z_2 + \cdots+z_n \right| \leq \left|z_1\right| + \left|z_2\right|+ \cdots + \left|z_n\right| \] 로 나타낼 수 있다.

Multiplication and Division in polar form

\(z_1 = r_1(cos\theta_1 + i sin\theta_1)\), \(z_2 = r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)\)이라고 하자. 이에 대한 곱셈, 나눗셈은 다음과 같으며 증명 또한 같이 나타내보았다. 

1. 곱셈

\[z_1z_2 = r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2) + i sin(\theta_1+\theta_2)]\]

pf)

위의 결과를 통해 \(\theta\)에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다. 

\[arg (z_1z_2) = arg z_1 + arg z_2 \]

Absolute value 는 \(z_1, z_2\)의 내적과 같은 의미이며 다음과 같다.

\[\left|z_1z_2\right| = \left|z_1\right|\left|z_2\right| \] 

 

2. 나눗셈

\(z_1 = (z_1/z_2)z_2\)라고 하면, \(\left|z_1\right| = \left|(z_1/z_2)z_2\right| = \left|z_1/z_2\right|\left|z_2\right| \) 이 성립한다. 이를 통해 다음이 성립한다.

\[\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\]

argument of z에 대해서도 \(arg\) \(z_1= arg [(z_1/z_2)z_2] =\)\(arg(z_1/z_2)+ arg\)\(z_2\)이므로 이에 대한 뺄셈은

\[arg \frac{z_1}{z_2} = arg z_1 - arg z_2\]

위에서 \(z_1 z_2\)과 z에 대한 arg 곱셈에서 \(z_1 = z_2 = z\)를 이용해서 정수배일 때 polar form이 어떻게 되는지 관찰해보자.  n배할수록 \(\theta\)또한 n배된다고 생각하면 된다.

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Roots

\(z = w^{n}\)라고 하면, w를 multivalued라고 한다. w는 z의 n 제곱근이며, w를 이용해 polar form으로 만들어보자. 다음 사진을 참고하자.