13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots

 

이번에는 Complex Numbers를 Polar form으로 나타내보도록 하겠다. 

x,y 를 $r,\theta$로 변환하면, 다음과 같이 표현된다.

$$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$

이를 z, complex number의 polar form과 크기(absolute value 또는 modulus로 불림)는 다음과 같다.

$$z=r(cos\theta +isin\theta )$$

$$\left|z\right|=r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$$

여기서 $\theta$는 argument of z 라고 하며, $\theta =arg$ $z$로 나타낸다. 

$$tan\theta =\frac{y}{x}$$

$z=0$이면, $\theta$는 기본적으로 주기성이 포함된 채 ($-\pi <Arg$$z=\theta \le \pi$) 정의가 되는데, z=0이면, 길이가 0인지라 주기성을 포함한 채로  $\theta$는 정의할 수 없으므로 undefined 된다. $arg$ $z=\theta +2n\pi$ 즉, z=x>0 이면, arg z = 0 (실수 부분만 존재하기 때문에 Re axis 양수 위의 점이며 counterclockwise angle = 0 ), z=x<0이면, arg z =$\pi$ (이 또한 실수 부분만 존재하며 Re axis 음수 위의 점이며 counterclockwise angle = $\pi$)이다.

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Triangle Inequality

$$|z_1+z_2|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|$$

여기 자명한 식에서 다음과 같은 식도 알 수 있다.

 n까지라고 하면, $$|z_1+z_2+\cdots +z_n|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots +\left|z_n\right|$$ 로 나타낼 수 있다.

Multiplication and Division in polar form

$z_1=r_1(cos{\theta }_1+isin{\theta }_1)$, $z_2=r_2(cos{\theta }_2+isin{\theta }_2)$이라고 하자. 이에 대한 곱셈, 나눗셈은 다음과 같으며 증명 또한 같이 나타내보았다. 

1. 곱셈

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2[cos({\theta }_1+{\theta }_2)+isin({\theta }_1+{\theta }_2)]$$

pf)

위의 결과를 통해 $\theta$에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다. 

$$arg(z_1{z}_2)=arg{z}_1+arg{z}_2$$

Absolute value 는 $z_1,z_2$의 내적과 같은 의미이며 다음과 같다.

$$\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$$ 

 

2. 나눗셈

$z_1=(z_1/z_2)z_2$라고 하면, $\left|z_1\right|=|(z_1/z_2)z_2|=\left|z_1/z_2\right|\left|z_2\right|$ 이 성립한다. 이를 통해 다음이 성립한다.

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$$

argument of z에 대해서도 $arg$ $z_1=arg[(z_1/z_2)z_2]=$$arg(z_1/z_2)+arg$$z_2$이므로 이에 대한 뺄셈은

$$arg\frac{z_1}{z_2}=arg{z}_1-arg{z}_2$$

위에서 $z_1{z}_2$과 z에 대한 arg 곱셈에서 $z_1=z_2=z$를 이용해서 정수배일 때 polar form이 어떻게 되는지 관찰해보자.  n배할수록 $\theta$또한 n배된다고 생각하면 된다.

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Roots

$z=w^n$라고 하면, w를 multivalued라고 한다. w는 z의 n 제곱근이며, w를 이용해 polar form으로 만들어보자. 다음 사진을 참고하자.