13.1 Complex Numbers and Their Geometric Reprensentation

 

 

이 장은 복소수에 관한 단원이다. Complex number Z에 관해 좌표를 나타내는 것처럼 표현할 것이다. 

\[ z = (x, y)\]

\[ x = Re z, y = Im z\]

x는 z의 실수 부분(real part), y는 z의 허수 부분(imaginary part)이다. 

우리가 복소수에 대해 처음 배울 때 \( \sqrt{-1} = i = (0,1) \)으로 표현된다. 이 표현 방식에 관한 성질로는 다음과 같다.

1. 덧셈 - \(z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) \)일 때, \(z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2) \) 
2. 곱셈 - \(z_1z_2 = (x_1, y_1)(x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1) \) 
3. 뺄셈 - \(z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + i(y_1-y_2)\)
4. 나눗셈 - \(z= \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} =\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^{2}+y_2^{2}}+ i \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^{2}+y_2^{2}} (z_2  \neq 0)\),

2.에 관한 증명은 \(z_1 = x_1 + y_1i, z_2 = x_2 + y_2i\)이니, 전개하면, real part = \( x_1x_2 + y_1y_2 i^{2} = x_1x_2 - y_1y_2\), Imaginary part = \(x_1y_2+x_2y_1\)가 된다.

\(i^{2} = ii = (0,1)(0,1) = (-1, 0) \) 이렇게 되는 것처럼 우리가 흔히 아는 좌표와는 다르게 표현된다.

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Complex Plane 

우리가 흔히 쓰는 좌표평면의 x축 = Real 축, y축 = Imaginary 축으로 바꾼 뒤 계산해보는 걸로 하자. 다음과 같이 표현되며, 덧셈과 뺄셈 또한 벡터 계산처럼 진행된다.

Complex Conjugate Numbers

\[\bar{z} = x - iy\]

으로 표현되며, 실수 부분과 허수 부분 또한 conjugate 계산으로 표현될 수 있다. 위의 좌표평면에서는 Re axis의 대칭 이동된 것이 conjugate 이다. 

\[\mathrm{Re} z = x = \frac{1}{2} (z + \bar{z})\]

\[\mathrm{Im} z = y = \frac{1}{2i} (z - \bar{z})\]

\[\bar{z_1+z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}, \bar{z_1-z_2} = \bar{z_1}-\bar{z_2}\]

\[\bar{z_1z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2}, \bar{\frac{z_1}{z_2}} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\]

 

이렇게 conjugate 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두 나타내었다.  다음 장은 Polar coordinate ver 으로 진행해볼 예정이다.