13.1 Complex Numbers and Their Geometric Reprensentation

 

 

이 장은 복소수에 관한 단원이다. Complex number Z에 관해 좌표를 나타내는 것처럼 표현할 것이다. 

$$z=(x,y)$$

$$x=Rez,y=Imz$$

x는 z의 실수 부분(real part), y는 z의 허수 부분(imaginary part)이다. 

우리가 복소수에 대해 처음 배울 때 $\sqrt{-1}=i=(0,1)$으로 표현된다. 이 표현 방식에 관한 성질로는 다음과 같다.

1. 덧셈 - $z_1=(x_1,y_1),z_2=(x_2,y_2)$일 때, $z_1+z_2=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ 
2. 곱셈 - $z_1{z}_2=(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1)$ 
3. 뺄셈 - $z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$
4. 나눗셈 - $z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+i{y}_1}{x_2+i{y}_2}=\frac{(x_1+i{y}_1)(x_2-i{y}_2)}{(x_2+i{y}_2)(x_2-i{y}_2)}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}(z_2\ne 0)$,

2.에 관한 증명은 $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i$이니, 전개하면, real part = $x_1{x}_2+y_1{y}_2{i}^2=x_1{x}_2-y_1{y}_2$, Imaginary part = $x_1{y}_2+x_2{y}_1$가 된다.

$i^2=ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)$ 이렇게 되는 것처럼 우리가 흔히 아는 좌표와는 다르게 표현된다.

---

Complex Plane 

우리가 흔히 쓰는 좌표평면의 x축 = Real 축, y축 = Imaginary 축으로 바꾼 뒤 계산해보는 걸로 하자. 다음과 같이 표현되며, 덧셈과 뺄셈 또한 벡터 계산처럼 진행된다.

Complex Conjugate Numbers

$$\overline{z}=x-iy$$

으로 표현되며, 실수 부분과 허수 부분 또한 conjugate 계산으로 표현될 수 있다. 위의 좌표평면에서는 Re axis의 대칭 이동된 것이 conjugate 이다. 

$$\mathrm{Re}z=x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$$

$$\mathrm{Im}z=y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$$

$$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$$

$$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2},\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

 

이렇게 conjugate 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두 나타내었다.  다음 장은 Polar coordinate ver 으로 진행해볼 예정이다.