13.4 Cauchy-Riemann Equations. Laplace's Equation

앞 장에서 \(w=f(z)=u(x,y) + iv(x,y) \)로 정의했었다. 만약, f가 domain D에서 analytic하다면 다음 조건들을 만족한다. 

\[u_x = v_y, u_y = -v_z \]

이를 Cauchy-Riemann equations 라고 한다. 

정리한 Theorem 은 다음 사진과 같다.

pf)

 

이 성질을 이용해서 해당 함수가 analytic한지 아닌지도 판단 가능하다.

이제 이를 Polar form으로 나타내면, \(z=r(cos\theta + i sin\theta)\), \(f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta) \)이며 이를, Cauchy-Riemann equation에 대입하면, 다음과 같다.

\[u_r = \frac{1}{r} v_\theta , v_r = -\frac{1}{r} u_\theta \]

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Laplace's Equation. Harmonic Functions

u, v 사이의 관계들을 harmonic function의 관계라고 한다.