13.5 Exponential Function

 

 
이번에는 z를 지수함수로 확장한 후 정의 및 여러 성질들을 살펴볼 예정이다.
$$expz=e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(cosy+isiny)$$
위의 식을 Exponential Function 이라고 하며, $e^{iy}=cosy+isiny$는 Euler formula 라고 한다.
이는 Analytic Function인데, 증명은 다음과 같다. 

앞선 13.4에서 썼던 analytic function의 성질을 이용해서 지수 함수가 analytic function이라는 것과 미분한 것이 자기 자신이라는 사실도 알 수 있다. 

$e^{z_1}{e}^{z_2}=$와 같은 성질도 알 수 있다.
 
오일러 공식에 대한 유도는 다음 블로그 글을 참조하라. 
https://gaussian37.github.io/math-calculus-euler_formula/

오일러 공식 (Euler formula)

Exponential Function의 Polar form은 다음과 같다.
$$z=r(cos\theta +isin\theta )=r{e}^{i\theta }$$
여기서 몇 개의 간단한 특징을 알 수 있다.
1. $\theta =2\pi$이면, $e^{2\pi i}=cos2\pi +isin2\pi =1$가 된다.

허수 부분의 다른 사분원일 때도 똑같이 진행하면 위와 같다.

2. $\left|e^{iy}\right|=|cosy+isiny|=\sqrt{co{s}^{2}y+si{n}^{2}y}=1$이기에 $\left|e^z\right|=e^x,arg{e}^z=\theta +2n\pi$가 성립한다.
3. 2.에서 $e^{z+2\pi i}=e^z$으로 $2\pi i$ 주기성을 갖는다는 사실을 알았다.
4. 3.의 주기성에서 $e^{z+2\pi i}=e^{x+iy+2\pi i}=e^{x+i(y+2\pi )}=e^z=e^{x+iy}$인 것을 알 수 있기에 $-\pi <y\le \pi$을 만족함을 알 수 있다. 밑의 그림의 영역의 z만 구해도 주기성으로 다 구할 수 있기에 fundamental region이라고 한다.

exponential function이 항상 양수인 이유

y 범위에 대한 그림