13.5 Exponential Function

 

 
이번에는 z를 지수함수로 확장한 후 정의 및 여러 성질들을 살펴볼 예정이다.
\[exp z = e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}e^{iy}=e^{x}(cosy + isiny)\]
위의 식을 Exponential Function 이라고 하며, \(e^{iy}=cosy + isiny\)는 Euler formula 라고 한다.
이는 Analytic Function인데, 증명은 다음과 같다. 

앞선 13.4에서 썼던 analytic function의 성질을 이용해서 지수 함수가 analytic function이라는 것과 미분한 것이 자기 자신이라는 사실도 알 수 있다. 

\(e^{z_1}e^{z_2} = \)와 같은 성질도 알 수 있다.
 
오일러 공식에 대한 유도는 다음 블로그 글을 참조하라. 
https://gaussian37.github.io/math-calculus-euler_formula/

오일러 공식 (Euler formula)

Exponential Function의 Polar form은 다음과 같다.
\[z=r(cos\theta + isin\theta )= re^{i\theta}\]
여기서 몇 개의 간단한 특징을 알 수 있다.
1. \(\theta=2\pi\)이면, \(e^{2\pi i}=cos2\pi+isin2\pi=1\)가 된다.

허수 부분의 다른 사분원일 때도 똑같이 진행하면 위와 같다.

2. \(\left| e^{iy} \right| = \left| cosy + isiny  \right| = \sqrt{cos^{2}y + sin^{2}y} =1\)이기에 \(\left| e^{z} \right| = e^{x}, arg e^{z} = \theta +2n\pi \)가 성립한다.
3. 2.에서 \(e^{z+2\pi i} = e^{z}\)으로 \(2\pi i\) 주기성을 갖는다는 사실을 알았다.
4. 3.의 주기성에서 \(e^{z+2\pi i} = e^{x+iy+2\pi i} = e^{x+i(y+2\pi)} = e^{z} = e^{x+iy}\)인 것을 알 수 있기에 \(-\pi < y \leq \pi\)을 만족함을 알 수 있다. 밑의 그림의 영역의 z만 구해도 주기성으로 다 구할 수 있기에 fundamental region이라고 한다.

exponential function이 항상 양수인 이유

y 범위에 대한 그림