13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions. Euler's Formula

 

 

13.5에서 Euler formula에 대해 알게되었다. 실수부 \(e^{x}\)를 복소수 \(e^{z}\)로 확장해보자. \(e^{ix} = cos x + isinx\), \(e^{-ix} = cos - isinx\)을 조합하여 cosx, sinx에 대해 나타내보면 다음과 같다.

 

\[cosx= \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}), sinx= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\] 

 

x 대신 z를 넣어 표현할 수 있다. 애초에 cosx, sinx를 복소 평면에 나타낸 것이기에 complex number z를 대입해도 문제가 없다. 그에 관한 식들은 다음과 같다. 

 

\[e^{iz} = cos z + isinz\]

\[cosz= \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz}), sinz= \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\]

  

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Hyperbolic Functions

\[coshz = \frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z}), sinhz = \frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})\]

coshx, sinhx로부터 이 식은 잘 도출해낼 수 있다.

 

\[coshiz = cosz, sinhiz = isinz\]

pf)

\[cosiz = coshz, siniz = isinhz\]

pf)

공식만 한 번에 정리하면 다음과 같다.