14.3 -Cauchy's Integral Formula

 f(z)는 simply connected domain D에서 analytic하고, C, D는 simple closed path이라고 하고, 내부 z에서 \(z_0\)에 접근하면, 이에 대한 integral을 위의 이론처럼 진행된다. 좌변 식이 왜 저렇게 되냐는 14.1에서 원에 대한 Line Integral을 참고하면 도움이 될 것이다.  simply connected이면, 이를 확장하면, 하나의 원처럼 된다. 위상수학(topology)(머그컵 확장하면 도넛 모양처럼 되는 것) 생각하면 좋을 것이다. 그래서 좌변은 저러한 식이 만들어지고, 우변의 식이 도출되는 것은 증명해보겠다.

pf)

\[ \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = f(z_0) \oint_{c} \frac{dz}{z-z_0} + \oint_{c} \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} dz \]

 \(  \oint_{c} \frac{dz}{z-z_0} \)에 관한 증명은 14.1에서 했었다. 이를 통해 \(2\pi i f(z_0)\)가 나옴을 알 수 있다. 두 번째 항이 0이 됨을 알면, 이 공식은 증명 완료이다. Fig 357을 보면, 원 C를 반지름 \(\rho\)을 가지고, center \(z_0\)인 원 K로 바꿀 수 있다. f(z)가 analytic하므로 이는 연속적이기 때문이다. \(z\)는 이 domain D에서 속하는 점이라고 하자. \(\left| z - z_0 \right| < \delta \)의 disk에서 \( \left|f(z)-f(z_0)\right| < \epsilon, \qaud \epsilon > 0 \) 이에 대한 epsilon이 주어지면, 앞선 식을 만족하는 delta가 존재한다. 이에 대한 \(\delta\)보다 작은 \(\rho\)를 잡았다고 하자. 그러면 다음을 만족한다. 

\[\left|  \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} \right| < \frac{\epsilon}{\rho} \]

ML-inequailty를 이용하면,

\[\left\ \oint_{k}  \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} dz \right| < \frac{\epsilon}{\rho} 2\pi \rho = 2\pi \epsilon \]

이는 0에 수렴하면서 이론을 증명했다.

 

이 공식을 이용한 예시를 보자.

Example 1

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Example 2

solution) g(z)를 다양한 원과 같이 그림으로 그리면 다음과 같다.

원 (a), \(\left| z-1 \right| = 1\)를 만족하는 \(z_0 = 1\)에서는 analytic하지 않은 원이다. 

\[g(z) = \frac{z^{2}+1}{z+1} \frac{1}{z-1}\]

이고, f(z)를 다음이라고 정의하자.

\[f(z) = \frac{z^{2}+1}{z+1}\]

\[\oint_{c} \frac{z^{2}+1}{z^{2}-1} dz = 2\pi i f(1) = 2 \pi i [  \frac{z^{2}+1}{z+1}]_{z=1} = 2\pi i \]

(b)는 deformation 시키면 (a)와 같다. 

(c)는 \(z_0\)=-1에서 nonanalytic한 원이다. 즉, 이번에는 g(z), f(z)를 다음으로 나눌 수 있다.

\[g(z) = \frac{z^{2}+1}{z-1} \frac{1}{z+1}\]

\[f(z) = \frac{z^{2}+1}{z-1}\]

\[\oint_{c} \frac{z^{2}+1}{z^{2}-1} dz = 2\pi i f(-1) = 2 \pi i [  \frac{z^{2}+1}{z-1}]_{z=-1} = - 2\pi i \]

이렇게 nonanayltic한 center를 중심으로 cauchy integral formula를 이용하면 구할 수 있다.