개발자와 공학자 그 사이

Linear Combinations \(F\)- vector space \(V\)에 대해, \(u_1, u_2, \cdots, u_k\)을 \(V\)의 vectors, \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in F \)이라고 하면, \(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_k u_k \)를 Linear Combination(일차 결합) 이라고 한다. 일차 결합은 벡터 여러 개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것이다. 벡터 공간의 성질에 따라 다음도 정의된다. Vecotr space \( V\)에 대해 공집합이 아닌 subspace \(S\)의 모든 일차결합은 \(V\)에 속한다. 이 이론의 증명은 수학적 귀납법으로 증명한다..

벡터 공간의 부분 집합( subset )이 벡터공간이 될 수 있는 조건에 대해 배워볼 것이다. 일단 정의부터 보자. F- vector space V에 대해 다음 조건을 만족하면, S를 V의 subset이라고 한다. 1. \( 0 \in S\). 2. 만약 \(\alpha \in F\) 와 \(u \in S\)이면, \(\alpha u \in S\)이다. (scalar multiplication) 3. 만약 \(u, v \in S\)이면, \(u+v \in S\)이다. 연습문제를 통해 개념을 파악해보자.

이제 F 안에서의 Vector space에 대해 정의할 것이다. Vector space는 다음 8가지 조건을 만족하는 additive(sum), scalar multiplication을 가지는 집합이다. (i) 합(sum)은 V 의 두 원소 u, v에 대하여 유일한 원소 \(u+v \in V) 를 대응하는 연산이다. u+v 는 u 와 v 의 합이다. (ii) 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 F 의 원소 a 와 벡터공간 V 의 원소 u마다 유일한 원소 \(au \in V\) 를 대응하는 연산이다. 이때, \(au\) 는 a 와 u 의 스칼라 곱이다. 이 두 개는 벡터 공간의 전제로 이를 만족하고 다음 조건들도 만족해야지 vector space라고 할 수 있다. 모든 \(u, v \..

F에 대한 정의 전 앞으로 나올 기호에 대한 정리를 하겠다. \( \mathbb{N} \) 자연수의 집합 \( \mathbb{Z} \) 정수의 집합 \( \mathbb{Q} \) 유리수의 집합 \( \mathbb{R} \) 실수의 집합 \(\mathbb{C} \) 복소수의 집합 체란 다음의 모든 명제가 성립하는 대수구조 ⟨F,+,⋅⟩ 을 의미한다. 임의의 두 원소 \(\alpha, \beta \in F\)에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다. \[ \alpha + \beta = \beta + \alpha \] 임의의 세 원소 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다. \[ \alpha + (\beta+\gamma) = (\alpha + \b..

앞으로의 내용은 Finite-Dimensional Linear Algebra - Mark S.Gockenbach 책을 기반으로 진행됩니다. 선형대수학 왜 배워야 할까? 선형대수는 우리가 존재하는 3차원을 수학적으로 쉽게 정리해준다. 벡터는 우리의 공간의 특성을 설명해준다. 3차원뿐만 아니라 multidimensional한 상황에서의 정보 처리도 쉬워진다. 선형대수학은 근사적 수단으로 적합하다. 여러 개의 데이터의 추이를 보고 싶을 때 직선의 형태로 그려서 확인하곤 한다. 비선형이어도 아주 작은 구간에서는 선형적인 특징을 보인다. 인공지능 분야에서 선형대수학을 빼놓을 수 없다. 머신러닝과 딥러닝에서 선형대수학은 필수불가결한 요소이다. 요즘 머신러닝에 대해서 공부하고 있는데 다른 포스트에서 다룰 예정이다. ..