개발자와 공학자 그 사이

\(X, U vector space\)에 대해 \(L : X \to U\)를 만족하는 방정식, \( L(x) = u\)은 linear하다. 여기서 u는 U의 원소. \(L(x) = u \) inhomogeneous 와 \(L(x) = 0\) homogeneous에 대해 (\(u \neq 0\)) 배워볼 예정이다. 여기서 본격적으로 kernel(null space)과 range(image space)에 대해 나오는데, 정의는 다음과 같다. \(X, U\) vector space에 대해 \(L : X \to U\)을 linear하다고 하자. ker(L)의 kernel은 영공간으로 정의는 다음과 같다. 모든 set의 답은 L(x) = 0으로, \[ker(L) = \left\{ x \in X : L(x) = 0..

\(X\)와 \(Y\) set에 대해 함수 \(f : X \to Y\)가 bijection(일대일 대응)이라고 하자 책의 흐름 정도로만 정리하고 있기에 밑의 블로그 글에 엄밀한 설명이 나와 있으므로 참고한다. https://aerospacekim.tistory.com/50 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 동형사상 ※ 본 포스팅의 도입부는 다소 엄밀하지aerospacekim.tistory.com동형사상(Isomorphic)에 대해 배워볼 것이다. 우선 Linear Operator에 관한 개념을 상기시키면서 알아보자.\(X, Y\)을 임의의 set..

Linear Operator의 다양한 특징에 대해 더 알아보자. \(F\)-vector space \(X, U\)에 대해 다음을 만족한다. 1. \(L : X \to Y\)가 linear하면, \( \alpha \in F\)에 대해 \(\alpha L\) 또한 linear하다. 2. \(L : X \to Y\)과 \(M : X \to U\)가 linear하면, \(L+M\) 또한 Linear하다. 이런 linear operator 또한 vector space이다. 이전 장에서 배운 두 가지를 복습해보자. 1. \(A \in F^{m \times n}\)을 linear operator \(T : F^{n} \to F^{m}\)에 대해 식 \( T(x) = Ax. x \in F\) 다음과 같이 나타낸다. \..

이제 Linear Transformation에 대해 배워볼 것이다. 우선 정의는 다음과 같다. \(F- vector space X, U\)에서 \(L : X \to U\)라고 하면, 다음 두 조건을 만족하면 L은 Linear하다. 1. \(L(\alpha x) = \alpha L(x)\) for all \(\alpha \in F, x \in X\) 2. \(L(x+y) = L(x) + L(y)\) for all \(x, y \in X\) L을 Linear Operator라고 한다. \(F\)- vector space \(X, U\)에서 \(L : X \to U\)인 Linear Operator L에서 \(x_1, x_2, \cdots x_k \in X\), \(\alpha_1, \alpha_2, \cdo..

이걸 갑자기 왜 배우냐하면, 흔히 우리가 아는 x-y 좌표에서의 계산을 선형대수학과 연관시켜 풀이하기 위함이다. 우선 라그랑주 보간법(Lagrangian Interpolation)이란 n+1개의 좌표로 n차 다항식을 만드는 방법이다. Shamir's secret sharing & Lagrange Interpolation의 관계 비밀 데이터를 나누는데 사용되는 방법으로 위의 두 것이 같이 쓰인다는 것이다. https://research-note.tistory.com/7 Shamir's Secret Sharing과 Lagrange Interpolation Secret Sharing 비밀 데이터를 여러 조각으로 "나누어" 분산 저장하는 작업이며, 유사시 여러 조각들을 취합하여 비밀 데이터를 복구한다. 단, 비..

전 장에서 얘기한 기호를 자세히 설명해보면서 bases(basis의 복수)의 성질에 대해서도 알아보자. finite-dimensional vector space의 모든 nontrivial subspace는 basis를 가지는데, 고려하여 basis 정의를 다시 살펴보자. \(F-vector space V\)를 nontrivial vector space라고 하고, \({u_1, u_2 \cdots u_n}\)이 \(V\)에 span한다고 하면, 이 \({u_1, u_2 \cdots u_n}\) subset은 \(V\)의 basis이다. 우리는 벡터가 더 많았을 때 sp 안의 벡터가 줄어드는 경우만 자주 봤었다. 그러나 반대의 경우도 성립한다. \(F-vector spaceV\)를 finite-dimensi..

이제 basis에 대해 배워볼 것이다. 앞 장에서 언급했듯이 minimal spanning set of V를 V의 basis라고 한다. 그리고 여기서 basis는 dimension에 해당한다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. \(F\) vector space \(V\)에 대해 \(u_1, u_2, \cdots u_n\)이 \(V\)에 속한다고 하자. 만약 \(u_1, u_2, \cdots u_n\) spans V이며 linearly independent하면, 이는 \(V\)의 basis이다. 전 장의 이론 26에서 얘기한 바는 \(V\)의 선형 결합 조합이 오직 하나밖에 없으면은 Linearly independent임을 얘기했었다. 여기서 Linearly independent한 \({u_1, u_2 \cdo..

Linearly Independence에 대해 배울 것이다. 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나이다. 그 전에 subspace에 대해 좀 더 알아보자. 앞으로의 설명에서 V is vector space over F라고 가정한다. 모든 \(V\)는 Subset을 갖는다. \(V\)의 가장 작은 spanning set을 B라 하면, \(V = span(B)\)이다.2.와 관련된 보조 정리는 다음과 같다.\(u_1, u_2, \cdots u_n \)dl \(V\)의 vectors이고, \(v \in sp{u_1, u_2, \cdots u_n} \)이면, \(sp{u_1, u_2, \cdots u_n, v} = sp{u_1, u_2, \cdots u_n}\) 이다.Proof) x를 \( sp{u_1, u_2, ..