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이번에는 z를 지수함수로 확장한 후 정의 및 여러 성질들을 살펴볼 예정이다. \[exp z = e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}e^{iy}=e^{x}(cosy + isiny)\] 위의 식을 Exponential Function 이라고 하며, \(e^{iy}=cosy + isiny\)는 Euler formula 라고 한다. 이는 Analytic Function인데, 증명은 다음과 같다. 앞선 13.4에서 썼던 analytic function의 성질을 이용해서 지수 함수가 analytic function이라는 것과 미분한 것이 자기 자신이라는 사실도 알 수 있다. \(e^{z_1}e^{z_2} = \)와 같은 성질도 알 수 있다. 오일러 공식에 대한 유도는 다음 블로그 글을 참조하라. https:..
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앞 장에서 \(w=f(z)=u(x,y) + iv(x,y) \)로 정의했었다. 만약, f가 domain D에서 analytic하다면 다음 조건들을 만족한다. \[u_x = v_y, u_y = -v_z \] 이를 Cauchy-Riemann equations 라고 한다. 정리한 Theorem 은 다음 사진과 같다. pf) 이 성질을 이용해서 해당 함수가 analytic한지 아닌지도 판단 가능하다. 이제 이를 Polar form으로 나타내면, \(z=r(cos\theta + i sin\theta)\), \(f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta) \)이며 이를, Cauchy-Riemann equation에 대입하면, 다음과 같다. \[u_r = \frac{1}{r} v_\theta , v..
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앞으로의 내용 설명에 앞서 개념들을 설명해보겠다. open set과 closed set에 관한 정의 및 차이는 boundary point를 기준으로 나뉘는 것이다. 또한, open set 여러 개에 대해 disconnected 되어 있다는 의미는 말 그대로 교집합이 없다는 의미이고, open set이어도 접하는 점이 하나라도 존재하면 이는 connected 되어 있다라고 얘기한다. 또한 추가적으로 어떤 점의 근방(neighborhood)란, 그 점으로부터 특정 거리 미만인 모든 점의 집합이다. 이후 14장에서 더 자세히 배울 예정이니 이 정도까지 하는 걸로 하자. w = complex number라고 하고, w=u+iv라고 하자. u는 실수 부분, v는 허수 부분이다. w를 f라는 complex 에서 c..
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이번에는 Complex Numbers를 Polar form으로 나타내보도록 하겠다. x,y 를 \( r, \theta \)로 변환하면, 다음과 같이 표현된다. \[x=rcos\theta, y=rsin\theta\] 이를 z, complex number의 polar form과 크기(absolute value 또는 modulus로 불림)는 다음과 같다. \[z=r(cos\theta + i sin \theta) \] \[ \left| z \right| = r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{z\bar{z}} \] 여기서 \(\theta\)는 argument of z 라고 하며, \(\theta = arg\) \(z\)로 나타낸다. \[ tan\theta = \frac{y}{x} \] \(z..
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이 장은 복소수에 관한 단원이다. Complex number Z에 관해 좌표를 나타내는 것처럼 표현할 것이다. \[ z = (x, y)\] \[ x = Re z, y = Im z\] x는 z의 실수 부분(real part), y는 z의 허수 부분(imaginary part)이다. 우리가 복소수에 대해 처음 배울 때 \( \sqrt{-1} = i = (0,1) \)으로 표현된다. 이 표현 방식에 관한 성질로는 다음과 같다. 덧셈 - \(z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) \)일 때, \(z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2) \) 곱셈 - \(z_1z_2 = (x_1, y_1)(x_2, y_2) = (x_1x_2 - ..
훈련 세트의 샘플들을 분리할 때 분할 초평면이 쓰인다. 가장 잘 분리된 분할 초평면이란 이분법적 분리 클래스에서 샘플이 분류 경계에서 어느 정도 거리기 있어 오류가 없는 초평면 상태이다. 샘플 공간에서 분할 초평면은 다음 선형 방정식을 통해 묘사된다. \( w^{T}x + b = 0\) \(w\) 는 법선 벡터이고, 초평면의 방향을 결정한다. \(b\)는 변위항으로 초평면과 원점 간의 거리를 결정한다. 샘플 공간에서의 임의점 x에서 초평면 (\(w, b)\)까지의 거리는 \[ r = \frac{\left| w^{T}x + b \right|}{\left\| w \right\| }\] 양성 클래스 +1 이면, \( w^{T}x + b > 0\). 음성 클래스 -1이면, \( w^{T}x + b