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12장에서 쓰이는 ODE 기본 Partial Differential Equations (PDEs) 란 u(x, t), u(x, y), u(x, y, t)처럼 하나 이상의 변수에 대해 partial derivatives(편미분)을 가지고 있는 방정식이다. Linar PDE에 대해 우리가 관심을 가져볼 것이다. Linear PDE는 \((\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}})u = 0\)에서 \(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\) 은 P(D)로 P(D)u =0 꼴로 나타내면서 u는 1차로 linear한 성질을 띄는 ..
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이제 F 안에서의 Vector space에 대해 정의할 것이다. Vector space는 다음 8가지 조건을 만족하는 additive(sum), scalar multiplication을 가지는 집합이다. (i) 합(sum)은 V 의 두 원소 u, v에 대하여 유일한 원소 \(u+v \in V) 를 대응하는 연산이다. u+v 는 u 와 v 의 합이다. (ii) 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 F 의 원소 a 와 벡터공간 V 의 원소 u마다 유일한 원소 \(au \in V\) 를 대응하는 연산이다. 이때, \(au\) 는 a 와 u 의 스칼라 곱이다. 이 두 개는 벡터 공간의 전제로 이를 만족하고 다음 조건들도 만족해야지 vector space라고 할 수 있다. 모든 \(u, v \..
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F에 대한 정의 전 앞으로 나올 기호에 대한 정리를 하겠다. \( \mathbb{N} \) 자연수의 집합 \( \mathbb{Z} \) 정수의 집합 \( \mathbb{Q} \) 유리수의 집합 \( \mathbb{R} \) 실수의 집합 \(\mathbb{C} \) 복소수의 집합 체란 다음의 모든 명제가 성립하는 대수구조 ⟨F,+,⋅⟩ 을 의미한다. 임의의 두 원소 \(\alpha, \beta \in F\)에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다. \[ \alpha + \beta = \beta + \alpha \] 임의의 세 원소 \(\alpha, \beta, \gamma \in F\) 에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다. \[ \alpha + (\beta+\gamma) = (\alpha + \b..
앞으로의 내용은 Finite-Dimensional Linear Algebra - Mark S.Gockenbach 책을 기반으로 진행됩니다. 선형대수학 왜 배워야 할까? 선형대수는 우리가 존재하는 3차원을 수학적으로 쉽게 정리해준다. 벡터는 우리의 공간의 특성을 설명해준다. 3차원뿐만 아니라 multidimensional한 상황에서의 정보 처리도 쉬워진다. 선형대수학은 근사적 수단으로 적합하다. 여러 개의 데이터의 추이를 보고 싶을 때 직선의 형태로 그려서 확인하곤 한다. 비선형이어도 아주 작은 구간에서는 선형적인 특징을 보인다. 인공지능 분야에서 선형대수학을 빼놓을 수 없다. 머신러닝과 딥러닝에서 선형대수학은 필수불가결한 요소이다. 요즘 머신러닝에 대해서 공부하고 있는데 다른 포스트에서 다룰 예정이다. ..
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이번에 NAVER에서 진행하는 부스트코스 Data Science 분야에 지원해서 공부하게 되었다. 무료 강의 https://www.boostcourse.org/ds112 파이썬으로 시작하는 데이터 사이언스 부스트코스 무료 강의 www.boostcourse.org 강의 요약 및 팀미션을 진행하면서 고민해본 거리들을 정리할 예정이다. 1. 데이터 분석 환경 구성 데이터분석은 활용될 수 있는 범위가 굉장히 넓다. 공학, 의학, 교육 등 요즘 시대에서는 쓰이지 않는 곳이 없다. 이 강의는 파이썬을 기반으로 pandas 및 numpy를 활용하면서 기초적인 데이터분석을 배우는 강의이다. 이후 본인이 직접 연구하고 싶은 분야가 생기면 공공데이터 포털에서 자료를 수집해서 직접 모델 구성을 할 수도 있다. https:/..
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Fourier Transform을 알아볼 것이다. 왜 Fourier Transform을 배우냐하면, 시간 t 축에서의 신호, 정보를 주파수 w 축으로 옮겨오기 위해서 배운다. 주파수 축에서의 분석을 위한 수학적 계산들을 배울 것이다. 많은 공학 분야에서 쓰이고, 주로 신호 처리 분야에서 쓰인다. Complex Form of Fourier Integral 11.7 장에서 Fourier Integral을 다음과 같이 배웠다. \[ f(x) = \int_{0}^{\infty} [A(w)coswx + B(w)sinwx]dw \] \[ A(w) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)coswvdv, B(w) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\inft..
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Fourier series는 유한한 정의역을 가진 주기 함수 안에서 수식으로 나타내기에 좋은 식이다. 하지만 우리가 접하는 함수는 비주기 함수인 경우가 대부분이다. 이번 장은 비주기 함수일 때 나타낼 수 있는 Fourier Integral를 배울 것이다. 주기가 없다는 것은 주기가 2L일 때의 L을 무한대로 보내면, 이것 또한 주기가 없다라고 할 수 있다. 이런 점을 이용해 식을 세워볼 것이다. 그 전에 Example로 잠시 확인해보자. 이렇게 L이 증가할수록 amplitude가 낮아지고, n의 간격이 넓어진다. 직관적으로 이해하면 좋을 것 같다. 다음은 수식 측면에서 알아보자. Fourier series -> Fourier Integral로 전환하는 과정이다. \[ f_L(x) = a_0 + \sum_..
Orthogonal Functions과 이에 대한 Series를 공부할 것이다. Orthogonal 하다는 의미는 두 함수의 내적이 0이라는 의미이다. 이를 선형대수쪽으로 생각해보면, linearly independent한 관계가 되는 것이다. 이걸 왜 배우는지 생각해보면, 한 함수를 이루는 벡터들의 basis가 무엇으로 이루어졌는지 알기 위해 이 orthogonality가 이용될 수 있다. \( \mathbf{y} = c_1 \mathbf{u_1} + c_2 \mathbf{u_2} + \cdots + c_n \mathbf{u_n} \)에서 이 특성들이 서로 직교하면 서로 독립인 linearly independent 관계이다. \( \mathbf{y} \)은 각 term이 독립 특성이기에 분리 가능하며,..