개발자와 공학자 그 사이

\[\ln z = w\] 위의 식처럼 복소수 w를 정의한다고 하자. 그러면 이에 대한 역은 다음과 같다. \[e^{w} = z\] w=u+iv라고 하고, polar form까지 적용하면, \[e^{w} = e^{u+iv} = z= re^{i\theta} \cdots (1)\] 여기서, \(e^{u} = r, v=\theta\)임을 알 수 있다. (1)에서 양변에 ln을 취하면, \[\ln z = \ln r + i \theta\] \(\theta\)가 주기성을 갖지만, 이를 넣은 \(\theta\)는 결국 같은 각도를 나타내는데, ln z는 다른 값이 나오기에 Multi- valued하다. 여기서 하나의 branch만 가져와서 다음 식으로 나타내고자 한다. \[Ln z = \ln \left| z \righ..

13.5에서 Euler formula에 대해 알게되었다. 실수부 \(e^{x}\)를 복소수 \(e^{z}\)로 확장해보자. \(e^{ix} = cos x + isinx\), \(e^{-ix} = cos - isinx\)을 조합하여 cosx, sinx에 대해 나타내보면 다음과 같다. \[cosx= \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}), sinx= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\] x 대신 z를 넣어 표현할 수 있다. 애초에 cosx, sinx를 복소 평면에 나타낸 것이기에 complex number z를 대입해도 문제가 없다. 그에 관한 식들은 다음과 같다. \[e^{iz} = cos z + isinz\] \[cosz= \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz..

이번에는 z를 지수함수로 확장한 후 정의 및 여러 성질들을 살펴볼 예정이다. \[exp z = e^{z} = e^{x+iy} = e^{x}e^{iy}=e^{x}(cosy + isiny)\] 위의 식을 Exponential Function 이라고 하며, \(e^{iy}=cosy + isiny\)는 Euler formula 라고 한다. 이는 Analytic Function인데, 증명은 다음과 같다. 앞선 13.4에서 썼던 analytic function의 성질을 이용해서 지수 함수가 analytic function이라는 것과 미분한 것이 자기 자신이라는 사실도 알 수 있다. \(e^{z_1}e^{z_2} = \)와 같은 성질도 알 수 있다. 오일러 공식에 대한 유도는 다음 블로그 글을 참조하라. https:..

앞 장에서 \(w=f(z)=u(x,y) + iv(x,y) \)로 정의했었다. 만약, f가 domain D에서 analytic하다면 다음 조건들을 만족한다. \[u_x = v_y, u_y = -v_z \] 이를 Cauchy-Riemann equations 라고 한다. 정리한 Theorem 은 다음 사진과 같다. pf) 이 성질을 이용해서 해당 함수가 analytic한지 아닌지도 판단 가능하다. 이제 이를 Polar form으로 나타내면, \(z=r(cos\theta + i sin\theta)\), \(f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta) \)이며 이를, Cauchy-Riemann equation에 대입하면, 다음과 같다. \[u_r = \frac{1}{r} v_\theta , v..

앞으로의 내용 설명에 앞서 개념들을 설명해보겠다. open set과 closed set에 관한 정의 및 차이는 boundary point를 기준으로 나뉘는 것이다. 또한, open set 여러 개에 대해 disconnected 되어 있다는 의미는 말 그대로 교집합이 없다는 의미이고, open set이어도 접하는 점이 하나라도 존재하면 이는 connected 되어 있다라고 얘기한다. 또한 추가적으로 어떤 점의 근방(neighborhood)란, 그 점으로부터 특정 거리 미만인 모든 점의 집합이다. 이후 14장에서 더 자세히 배울 예정이니 이 정도까지 하는 걸로 하자. w = complex number라고 하고, w=u+iv라고 하자. u는 실수 부분, v는 허수 부분이다. w를 f라는 complex 에서 c..

이번에는 Complex Numbers를 Polar form으로 나타내보도록 하겠다. x,y 를 \( r, \theta \)로 변환하면, 다음과 같이 표현된다. \[x=rcos\theta, y=rsin\theta\] 이를 z, complex number의 polar form과 크기(absolute value 또는 modulus로 불림)는 다음과 같다. \[z=r(cos\theta + i sin \theta) \] \[ \left| z \right| = r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{z\bar{z}} \] 여기서 \(\theta\)는 argument of z 라고 하며, \(\theta = arg\) \(z\)로 나타낸다. \[ tan\theta = \frac{y}{x} \] \(z..

이 장은 복소수에 관한 단원이다. Complex number Z에 관해 좌표를 나타내는 것처럼 표현할 것이다. \[ z = (x, y)\] \[ x = Re z, y = Im z\] x는 z의 실수 부분(real part), y는 z의 허수 부분(imaginary part)이다. 우리가 복소수에 대해 처음 배울 때 \( \sqrt{-1} = i = (0,1) \)으로 표현된다. 이 표현 방식에 관한 성질로는 다음과 같다. 덧셈 - \(z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2) \)일 때, \(z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2) \) 곱셈 - \(z_1z_2 = (x_1, y_1)(x_2, y_2) = (x_1x_2 - ..

이 장에서는 Heat eq의 bar의 길이를 \(-\infty\) ~ \(\infty\)로 확장한다. Fourier Integrals을 이용하면, eq을 풀이해낼 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있을 것이다. \(-\infty\) ~ \(\infty\) 이기에 boundary condition은 존재하지 않고, initial condition만 존재한다. Boundary condition이 없으므로 p를 전처럼 깔끔하게 정리할 수가 없다. u(x,t)는 p에 대해 의존성이 있게 되면서, u(x, t ; p)로 표현이 된다. 여기서 Fourier Integrals을 사용하여 (-무한대에서 +무한대까지이고, p가 연속성을 지닐수도 있기에 fourier integrals로 해야 한다.) 풀이를 이어가자. Exam..