개발자와 공학자 그 사이

Heat Equation에도 똑같이 적용해서 진행할 것이다. 앞의 string이 x=0부터 x=L까지 one-dimensional wave equation이었다면, 여기는 x=0부터 x=L까지의 bar에서의 one-dimensional heat equation에 대해 알아볼 것이다. 앞의 wave eq은 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)이었다면, heat eq은 \(\frac{\partial u}{\partial t} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\) 으로 wave는 u를 x에 대해 두 번 미분, heat은 1번만 미분했다고 생각하면 된..

위의 사진과 같은 string의 함수를 구하는 데에 One-dimensional wave equation이 필요하며, 이는 PDE로 나타낸다. \[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \] 이 방정식을 구할 때 알아야 할 조건이 있다. Boundary Condition과 Initial condition을 고려해야 한다. 위의 Wave equation을 이용해서 알아볼 것이다. Step 1. Two ODEs from the Wave eq. Step 2. Satisfying the Boundary Conditions 이 함수를 eigenfunctions라고 부르며 \(\lambda _n = \frac..

12장에서 쓰이는 ODE 기본 Partial Differential Equations (PDEs) 란 u(x, t), u(x, y), u(x, y, t)처럼 하나 이상의 변수에 대해 partial derivatives(편미분)을 가지고 있는 방정식이다. Linar PDE에 대해 우리가 관심을 가져볼 것이다. Linear PDE는 \((\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}})u = 0\)에서 \(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\) 은 P(D)로 P(D)u =0 꼴로 나타내면서 u는 1차로 linear한 성질을 띄는 ..

Fourier Transform을 알아볼 것이다. 왜 Fourier Transform을 배우냐하면, 시간 t 축에서의 신호, 정보를 주파수 w 축으로 옮겨오기 위해서 배운다. 주파수 축에서의 분석을 위한 수학적 계산들을 배울 것이다. 많은 공학 분야에서 쓰이고, 주로 신호 처리 분야에서 쓰인다. Complex Form of Fourier Integral 11.7 장에서 Fourier Integral을 다음과 같이 배웠다. \[ f(x) = \int_{0}^{\infty} [A(w)coswx + B(w)sinwx]dw \] \[ A(w) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)coswvdv, B(w) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\inft..

Fourier series는 유한한 정의역을 가진 주기 함수 안에서 수식으로 나타내기에 좋은 식이다. 하지만 우리가 접하는 함수는 비주기 함수인 경우가 대부분이다. 이번 장은 비주기 함수일 때 나타낼 수 있는 Fourier Integral를 배울 것이다. 주기가 없다는 것은 주기가 2L일 때의 L을 무한대로 보내면, 이것 또한 주기가 없다라고 할 수 있다. 이런 점을 이용해 식을 세워볼 것이다. 그 전에 Example로 잠시 확인해보자. 이렇게 L이 증가할수록 amplitude가 낮아지고, n의 간격이 넓어진다. 직관적으로 이해하면 좋을 것 같다. 다음은 수식 측면에서 알아보자. Fourier series -> Fourier Integral로 전환하는 과정이다. \[ f_L(x) = a_0 + \sum_..

Orthogonal Functions과 이에 대한 Series를 공부할 것이다. Orthogonal 하다는 의미는 두 함수의 내적이 0이라는 의미이다. 이를 선형대수쪽으로 생각해보면, linearly independent한 관계가 되는 것이다. 이걸 왜 배우는지 생각해보면, 한 함수를 이루는 벡터들의 basis가 무엇으로 이루어졌는지 알기 위해 이 orthogonality가 이용될 수 있다. \( \mathbf{y} = c_1 \mathbf{u_1} + c_2 \mathbf{u_2} + \cdots + c_n \mathbf{u_n} \)에서 이 특성들이 서로 직교하면 서로 독립인 linearly independent 관계이다. \( \mathbf{y} \)은 각 term이 독립 특성이기에 분리 가능하며,..

이제 임의의 주기로 주어졌을 때 Fourier series를 나타내는 방법을 배우도록 하자. 기존의 Fourier Series, trigonometric series가 \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_ncosnx + b_nsinnx) \] 에서 주기 p=2L을 만족하기 위해 \(cosnx -> cos\frac{n\pi}{L}x \), \(sinnx -> sin\frac{n\pi}{L}x \) 로 바뀐다. Even & Odd function 일 때, 이 series가 어떻게 바뀌는지 알아보자. \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos\frac{n\pi}{L}x + b_n sin\frac{n\pi}{L}x ) \] 만약, f(x)가..

11.1 Fourier series에 대해 알아볼 것이다. Fourier Series란? 무한한 series로 cos과 sin으로 이루어진 주기함수이다. 양수 p에 대해 주기 p를 가진 f(x)는 \[f(x+p)=f(x)\] 가장 작은 positive period(여기서는 p)를 fundamental period 라고 부른다. 우리에게 익숙한 주기 함수는 cos, sin, tan 등이 있다. 이들을 삼각함수(trigonometric system)이라고 한다. 이 삼각함수를 series, 열로 표현하면, 삼각급수(trigonometric series) 라고 한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+...=a_0+\sum_{n=1}^..