개발자와 공학자 그 사이

앞선 15장의 여러 공식과 개념을 가지고 Laurent series를 알아볼 것이다. 지금 15장의 내용은 f가 nonanayltic하면 f를 그 점에서 테일러 series형태로 나타낼 수 없지만, Laurent series는 nonanayltic한 f에 대해서도 negative power(음의 거듭제곱)이 포함되는 급수로 나타내면서 복소해석을 할 수 있게 해준다. 그래서 15장은 anayltic 한 complex plane에서 쓰이는 주요한 공식들이라고 보면 된다. 위에서 bn 계수가 있는 부분을 principal part(주요 부분) 왜냐하면, nonanayltic function 에서 중요한 역할을 하는 급수이기 때문이다. 계수에 관한 증명은 다음 블로그를 참고하자. https://m.blog.na..

16장을 배우려면 15장의 내용을 알고 있어야 하기에 가볍게 정리하겠다. Ratio test와 Root test는 고등학교 미적분에서 다들 익히 알고 있는 내용일 것이다. 등비수열 무한급수에서 공비가 1보다 작아야지 수렴하는 것처럼 이와 비슷한 원리이다. Geometric series 또한 제시하겠다. Ratio test & Root test Power Series 여기서 \(\left| z- z_0 \right| < R\)이면, 이 원에 관한 power series는 수렴한다고 볼 수 있다. Taylor and Maclaurin Series 이와 관련된 여러 함수를 taylor series 형태로 나타낸 것을 제시하겠다.

14.3의 식을 미분하면 어떻게 될까.. 증명은 우리가 흔히 아는 미분의 정의를 이용해서 이후 \(\Delta z\)에 대해 limit 0을 취하고, ML inequailty를 이용하면 증명 가능하다. pf) 이를 적용한 예시를 보겠다. 14.3의 예시들과 비슷하다. 이와 관련된 추가적인 이론 두 가지만 더 보고 마치겠다. Theorem 2는 function이 절대적인 값, domain에 둘러쌓여져 있으면, function 또한 상수라는 의미이고, Theorem 3은 Cauchy's integral theorem의 조건이 역으로 되어 있어도 성립한다는 이론이다. Cauchy's Integral Theorem은 f is analytic -> f 에 관한 line integral 적분 존재 Morera's ..

f(z)는 simply connected domain D에서 analytic하고, C, D는 simple closed path이라고 하고, 내부 z에서 \(z_0\)에 접근하면, 이에 대한 integral을 위의 이론처럼 진행된다. 좌변 식이 왜 저렇게 되냐는 14.1에서 원에 대한 Line Integral을 참고하면 도움이 될 것이다. simply connected이면, 이를 확장하면, 하나의 원처럼 된다. 위상수학(topology)(머그컵 확장하면 도넛 모양처럼 되는 것) 생각하면 좋을 것이다. 그래서 좌변은 저러한 식이 만들어지고, 우변의 식이 도출되는 것은 증명해보겠다. pf) \[ \oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = f(z_0) \oint_{c} \frac{dz}{z-z..

이번에는 Complex number로 확장해서 알아보겠다. 전에 정의된 Inner product 정의가 complex number에서는 조금 다르게 정의된다. 1. 의 성질을 만족하는 complex inner product를 Hermitian form 라고 한다. 2.를 포함해 다음을 만족하면, \(\)을 sesquilinear form 라고 한다. 위의 성질을 1. , 2. 을 둘 다 만족하면 Hermitian sesquilinear form 이라고 부른다. 이제 내적에 기반한 Norm을 정의보자. 그 전에 Cauchy-Schwarz 부등식을 만족해야지 Norm의 여러 성질들을 만족할 수 있다. Cauchy-Schwarz 부등식을 충족시키지 않는다면, 벡터의 Norm이 음수가 될 수 있거나, Norm의..

이전까지는 vector space를 basis로 쪼갰다면, 이제는 vector space를 subspace들로 쪼개보겠다. 이와 관련된 정의는 다음과 같다.여기서 V가 내적 공간이고, S가 nonempty subset이면, S-perp 또한, zero vector 포함, addition, scalar mutliplication이 가능하면서 V의 subspace가 된다. 이와 관련된 예시를 보자.Orthogonal한 subspace 사이들의 특징을 알아보자. 1. S & T가 V의 orthogoanal subspace이면 \(S \cap T = {0} \)이다. 2. (\(S^{⊥}\))\(^{⊥}=S\) 3. S, T 모두 V의 subspace이면, S+V 또한 subspace라는 사실은 이전 챕터들에서..

이번에는 한 평면의 basis에서 orthogonal basis를 생성하는 방법을 알아보도록 하겠다. 이를 Gram-Schmidit Orthogonalization process라고 부른다. nonorthogonal basis \({u,v}\)에서 orthogonal basis \({u, \hat{v}}\)으로 바꾸는 과정이다. \(\hat{v}\)은 u,v의 linear combination으로 나타낼 수 있기에 \(sp{u, \hat{v}} = sp{u,v}\)은 같다. 즉, 같은 평면에 존재하면서 내적이 동일하다는 의미이다. 이에 관한 증명은 뒤에 바로 다룰 것이며, 일단 orthogonal basis를 구하는 과정은 다음과 같다. 왜 앞서 얘기한 두 basis 집합이 하나의 평면을 공유하는지 증명..

https://twlab.tistory.com/34 [Linear Algebra] Lecture 15-(2) 투영행렬(Projection matrix)과 부분 공간(subspaces) 이번 시간에 배울 내용은 바로 투영 행렬(Projection matrix)에 관한 내용이다. 이번 강의는 매우 중요하므로 잘 공부해 두도록 하자. 투영 행렬에 관한 내용을 공부하기에 앞서 2차원 벡터의 투영을 twlab.tistory.com 위의 블로그 글도 같이 참고하면 좋을 것 같다. Projection을 하는 이유는 다른 공간 또는 벡터를 또 다른 공간 또는 벡터에 투영(수직 관계)하여 차원을 줄이거나, 원하는 방향으로 크기를 조정하기 위해 사용된다. 보통 투영을 수직 관계가 되게끔 하는 이유는, 거리가 최소로 되게 ..