개발자와 공학자 그 사이

이제 아주 중요한 determinant에 대해 배워볼 것이다. Determinant 왜 중요할까? 결론부터 말하자면, 고유값(Eigenvalue) 때문이다. 설명은 뒤에서 이어 말하는 걸로 한다. 일단 determinant는 nxn matrix, 즉 행과 열의 개수가 같은 정방 행렬에서만 구할 수 있다. D(A) = |A|= det(A)로 쓰인다. 보통 많은 계산에서 determinant는 nxn matrix의 역행렬이 존재하는지(invertible)한지를 알아내기 위해 계산에서 많이 쓰인다. Determinant가 0이면, 특이 행렬(singular matrix)로 역행렬이 존재하지 않고, 0이 아니면, 비특이 행렬(nonsingular matrix)로 역행렬이 존재한다. 이와 관련한 얘기는 뒤에서 더..

14.1 절에서 얘기했던 simple, simply connected, disconnected 등의 차이를 알아보자. 그림을 보면 쉽게 이해가 될 것이다. simple은 이 도형을 원처럼 만드는 것이 가능하다면 이를 일컫는 말이고, connected는 domain안에 빈 domain이 존재하면 안되는 것이라 생각하면 된다. 이와 관련된 정리는 다음과 같다. 폐곡선에 대한 Line integral을 진행하면 이에 대한 값은 0이라는 것인데, 이에 대한 증명을 하기 전에 Green's Theorem에 대해 알고 있어야 한다. 도움이 되는 다음 블로그를 읽어 보는 것을 추천한다. https://angeloyeo.github.io/2020/01/18/Green_theorem.html 그린정리 - 공돌이의 수학정..

이번 장에서는 13장에서 배운 것을 토대로 평면으로 확장할 것이다. 우선 평면에서의 integral 전의 Line integral에 대해 알아보자. Complex definite integral(유한한 복소평면에서의 적분)을 Line integral, path integral이라고 하며, 다음 식과 같다. $${\int }_{c}f(z)dz$$ f(z)는 Complex plane의 curve path이다. Complex plane에 대한 따로 언급이 없는 한 smooth curve, 즉, 연속적이고 평면 접에서의 미분값 중에 0인 값은 없다고 하자. 또한 참고로, C-plane에 대해 z(t) = x(t) + iy(t)로 표현된다. z(t)에 대해 미분을 진행하면 위와 같다. Definition of th..

$$\ln z=w$$ 위의 식처럼 복소수 w를 정의한다고 하자. 그러면 이에 대한 역은 다음과 같다. $$e^w=z$$ w=u+iv라고 하고, polar form까지 적용하면, $$e^w=e^{u+iv}=z=r{e}^{i\theta }\cdots (1)$$ 여기서, $e^u=r,v=\theta$임을 알 수 있다. (1)에서 양변에 ln을 취하면, $$\ln z=\ln r+i\theta$$ $\theta$가 주기성을 갖지만, 이를 넣은 $\theta$는 결국 같은 각도를 나타내는데, ln z는 다른 값이 나오기에 Multi- valued하다. 여기서 하나의 branch만 가져와서 다음 식으로 나타내고자 한다. \[Ln z = \ln \left| z \righ..

13.5에서 Euler formula에 대해 알게되었다. 실수부 $e^x$를 복소수 $e^z$로 확장해보자. $e^{ix}=cosx+isinx$, $e^{-ix}=cos-isinx$을 조합하여 cosx, sinx에 대해 나타내보면 다음과 같다. $$cosx=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}),sinx=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$$ x 대신 z를 넣어 표현할 수 있다. 애초에 cosx, sinx를 복소 평면에 나타낸 것이기에 complex number z를 대입해도 문제가 없다. 그에 관한 식들은 다음과 같다. $$e^{iz}=cosz+isinz$$ \[cosz= \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz..

이번에는 z를 지수함수로 확장한 후 정의 및 여러 성질들을 살펴볼 예정이다. $$expz=e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(cosy+isiny)$$ 위의 식을 Exponential Function 이라고 하며, $e^{iy}=cosy+isiny$는 Euler formula 라고 한다. 이는 Analytic Function인데, 증명은 다음과 같다. 앞선 13.4에서 썼던 analytic function의 성질을 이용해서 지수 함수가 analytic function이라는 것과 미분한 것이 자기 자신이라는 사실도 알 수 있다. $e^{z_1}{e}^{z_2}=$와 같은 성질도 알 수 있다. 오일러 공식에 대한 유도는 다음 블로그 글을 참조하라. https:..

앞 장에서 $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$로 정의했었다. 만약, f가 domain D에서 analytic하다면 다음 조건들을 만족한다. $$u_x=v_y,u_y=-v_z$$ 이를 Cauchy-Riemann equations 라고 한다. 정리한 Theorem 은 다음 사진과 같다. pf) 이 성질을 이용해서 해당 함수가 analytic한지 아닌지도 판단 가능하다. 이제 이를 Polar form으로 나타내면, $z=r(cos\theta +isin\theta )$, $f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$이며 이를, Cauchy-Riemann equation에 대입하면, 다음과 같다. \[u_r = \frac{1}{r} v_\theta , v..

앞으로의 내용 설명에 앞서 개념들을 설명해보겠다. open set과 closed set에 관한 정의 및 차이는 boundary point를 기준으로 나뉘는 것이다. 또한, open set 여러 개에 대해 disconnected 되어 있다는 의미는 말 그대로 교집합이 없다는 의미이고, open set이어도 접하는 점이 하나라도 존재하면 이는 connected 되어 있다라고 얘기한다. 또한 추가적으로 어떤 점의 근방(neighborhood)란, 그 점으로부터 특정 거리 미만인 모든 점의 집합이다. 이후 14장에서 더 자세히 배울 예정이니 이 정도까지 하는 걸로 하자. w = complex number라고 하고, w=u+iv라고 하자. u는 실수 부분, v는 허수 부분이다. w를 f라는 complex 에서 c..