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ch 4.4는 앞 절에서 얘기한 polynomial 얘기랑 같아서 생략한다. 이제 드디어 eigenvalue가 뭔지 얘기를 해보고자 한다. 일단 다음 영상이 도움이 되므로 한 번 가볍게 보고 오는 것이 좋을 것 같다. https://www.youtube.com/watch?v=xDARfmKauuA 일단 영상의 내용을 좀 정리해보았다.Eigenvalue란?\[Av = \lambda v \] 위에서 \(\lambda\)는 eigenvalue, v는 eigenvector이다. \(\lambda\)는 Field에 속하는, 일종의 상수이다. 여기서 A는 mxn, v는 nx1 matrix이면, 우변이 나오기 위해서는 m=n이 되어야 하며, A는 정사각 행렬이다.왜 eigenvalue가 중요한가? 이제 수식적으로 알아..
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앞선 Ch 4.1~4.2를 적용한 example을 하나 풀어보자. 열 및 행을 통째로 바꿀 때마다 부호가 바뀌는 것을 주로 적용한다. 여기서 upper triangle matrix를 만들면 determinant 값은 대각행렬을 전부 곱한 값인데, 이에 관한 이유는 뒤에서 얘기할 예정이다. 일단, 매우 중요하니 암기는 해두자. A recursive formula for det(A) 이제 nxn matrix에서 n이 엄청 커도 determinant 계산하는 식에 대해 알아볼 것이다. 그 전에 알아둘 다음 이론을 한 번 보자. pf) 이제 이를 이용한 determinant 공식이 나온다!! 매우 중요하니 자세히 보자! pf) 이와 관련한 example 한 번 보겠다! 이로써 맨 첫 번재의 계산에 대한 의문성을..
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이제 아주 중요한 determinant에 대해 배워볼 것이다. Determinant 왜 중요할까? 결론부터 말하자면, 고유값(Eigenvalue) 때문이다. 설명은 뒤에서 이어 말하는 걸로 한다. 일단 determinant는 nxn matrix, 즉 행과 열의 개수가 같은 정방 행렬에서만 구할 수 있다. D(A) = |A|= det(A)로 쓰인다. 보통 많은 계산에서 determinant는 nxn matrix의 역행렬이 존재하는지(invertible)한지를 알아내기 위해 계산에서 많이 쓰인다. Determinant가 0이면, 특이 행렬(singular matrix)로 역행렬이 존재하지 않고, 0이 아니면, 비특이 행렬(nonsingular matrix)로 역행렬이 존재한다. 이와 관련한 얘기는 뒤에서 더..
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14.1 절에서 얘기했던 simple, simply connected, disconnected 등의 차이를 알아보자. 그림을 보면 쉽게 이해가 될 것이다. simple은 이 도형을 원처럼 만드는 것이 가능하다면 이를 일컫는 말이고, connected는 domain안에 빈 domain이 존재하면 안되는 것이라 생각하면 된다. 이와 관련된 정리는 다음과 같다. 폐곡선에 대한 Line integral을 진행하면 이에 대한 값은 0이라는 것인데, 이에 대한 증명을 하기 전에 Green's Theorem에 대해 알고 있어야 한다. 도움이 되는 다음 블로그를 읽어 보는 것을 추천한다. https://angeloyeo.github.io/2020/01/18/Green_theorem.html 그린정리 - 공돌이의 수학정..
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이번 장에서는 13장에서 배운 것을 토대로 평면으로 확장할 것이다. 우선 평면에서의 integral 전의 Line integral에 대해 알아보자. Complex definite integral(유한한 복소평면에서의 적분)을 Line integral, path integral이라고 하며, 다음 식과 같다. \[\int_{c} f(z) dz\] f(z)는 Complex plane의 curve path이다. Complex plane에 대한 따로 언급이 없는 한 smooth curve, 즉, 연속적이고 평면 접에서의 미분값 중에 0인 값은 없다고 하자. 또한 참고로, C-plane에 대해 z(t) = x(t) + iy(t)로 표현된다. z(t)에 대해 미분을 진행하면 위와 같다. Definition of th..
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\[\ln z = w\] 위의 식처럼 복소수 w를 정의한다고 하자. 그러면 이에 대한 역은 다음과 같다. \[e^{w} = z\] w=u+iv라고 하고, polar form까지 적용하면, \[e^{w} = e^{u+iv} = z= re^{i\theta} \cdots (1)\] 여기서, \(e^{u} = r, v=\theta\)임을 알 수 있다. (1)에서 양변에 ln을 취하면, \[\ln z = \ln r + i \theta\] \(\theta\)가 주기성을 갖지만, 이를 넣은 \(\theta\)는 결국 같은 각도를 나타내는데, ln z는 다른 값이 나오기에 Multi- valued하다. 여기서 하나의 branch만 가져와서 다음 식으로 나타내고자 한다. \[Ln z = \ln \left| z \righ..
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13.5에서 Euler formula에 대해 알게되었다. 실수부 \(e^{x}\)를 복소수 \(e^{z}\)로 확장해보자. \(e^{ix} = cos x + isinx\), \(e^{-ix} = cos - isinx\)을 조합하여 cosx, sinx에 대해 나타내보면 다음과 같다. \[cosx= \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}), sinx= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\] x 대신 z를 넣어 표현할 수 있다. 애초에 cosx, sinx를 복소 평면에 나타낸 것이기에 complex number z를 대입해도 문제가 없다. 그에 관한 식들은 다음과 같다. \[e^{iz} = cos z + isinz\] \[cosz= \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz..