개발자와 공학자 그 사이

문자이면 뒤집기가 가능하지만, 2.0배는 할 수 없고, 숫자이면 뒤집기 가능하지만, 대문자화는 할 수 없는 그런 규칙이 있다고 하자. public class homework14_2 { public static void main(String[] args) { DataParser parser1 = new DataParser("Hello World"); System.out.println("Reversed: " + parser1.reverse()); System.out.println("Capitalized: " + parser1.capitalize()); System.out.println("Doubled Value: " + parser1.doubleValue()); DataParser parser2 = new ..

우리는 Ax = b 계산할 때, free variable에 대해 basis가 span한 공간의 특성만 나타내고 정확한 해를 구하지는 못했다. 이를 해결하기 위한 것이 이번 장이다. Ax = b를 근사하게 만족하는 근사 해 x를 구하는 방향으로 x를 구할 것이다. 근사 해 구할 때 projection으로 해를 구하는 것이다. 그 전에 벡터의 크기를 무엇인지 알아야 한다. 1. 크기는 항상 양수이다. 2. 실수 곱은 크기 구할 때 분리 법칙 적용 가능 3. 두 벡터를 더한 것의 크기는 항상 각각의 크기를 더한 것보다 작다. 3.은 삼각형 변 길이를 추측할 때 쓰이던 방법이다. (제 기억으로는 아마 초등학교 때 했던 걸로..) 밑의 사진을 보면 3.은 더 잘 이해될 것이다. 크기를 구하는 방법은 다음과 같다...

이제 eigenvalue를 isomorphism 개념을 적용하여 Linear Operator 로 확장해볼 것이다. 매우 중요하니 잘 숙지해두는 걸로 하자. Linear operator의 representation이 생소하다면 다음 블로그 글들을 참고하자. https://elementary-physics.tistory.com/7 (선형대수학) 1.4 Coordinate RepresentationRepresentations of Vectors Basis의 정의로부터 vector space의 임의의 vector는 basis vector들의 linear combination으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간 ${\mathbb{R}}^3$에 대하여 basis를 $$ \mathcal{B} = \{~..

위의 이론은 eigenvectors들의 linearly independent와 dependent에 관한 증명이다. 이제 diagonalization과 eigenvalue를 이용해 matrix가 similar하다는 의미를 알아볼 것이다. 이와 관련한 성질은 다음 이론과 같다. 이제 Example로 similar matrix에 대해 알아볼 예정인데, 그 전에 AM과 GM에 대해 알아보자. AM(Algebric multiplicity)란 number of times $\lambda$ appears as a root of the characteristic polynomial. 즉, det($\lambda$I - A) = 0 의 근 $\lambda$ 값이 방정식의 근으로 몇 번 나오는지에 관한 것이다...

ch 4.4는 앞 절에서 얘기한 polynomial 얘기랑 같아서 생략한다. 이제 드디어 eigenvalue가 뭔지 얘기를 해보고자 한다. 일단 다음 영상이 도움이 되므로 한 번 가볍게 보고 오는 것이 좋을 것 같다. https://www.youtube.com/watch?v=xDARfmKauuA 일단 영상의 내용을 좀 정리해보았다.Eigenvalue란?$$Av=\lambda v$$ 위에서 $\lambda$는 eigenvalue, v는 eigenvector이다. $\lambda$는 Field에 속하는, 일종의 상수이다. 여기서 A는 mxn, v는 nx1 matrix이면, 우변이 나오기 위해서는 m=n이 되어야 하며, A는 정사각 행렬이다.왜 eigenvalue가 중요한가? 이제 수식적으로 알아..

앞선 Ch 4.1~4.2를 적용한 example을 하나 풀어보자. 열 및 행을 통째로 바꿀 때마다 부호가 바뀌는 것을 주로 적용한다. 여기서 upper triangle matrix를 만들면 determinant 값은 대각행렬을 전부 곱한 값인데, 이에 관한 이유는 뒤에서 얘기할 예정이다. 일단, 매우 중요하니 암기는 해두자. A recursive formula for det(A) 이제 nxn matrix에서 n이 엄청 커도 determinant 계산하는 식에 대해 알아볼 것이다. 그 전에 알아둘 다음 이론을 한 번 보자. pf) 이제 이를 이용한 determinant 공식이 나온다!! 매우 중요하니 자세히 보자! pf) 이와 관련한 example 한 번 보겠다! 이로써 맨 첫 번재의 계산에 대한 의문성을..

Determinat의 더 자세한 성질들을 알아볼 것이다. pf) pf) 또한 위 사진의 ①에서 다음을 알 수 있다. $$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$$ transpose와 관련하여 다음 이론을 만족한다. pf)

이제 아주 중요한 determinant에 대해 배워볼 것이다. Determinant 왜 중요할까? 결론부터 말하자면, 고유값(Eigenvalue) 때문이다. 설명은 뒤에서 이어 말하는 걸로 한다. 일단 determinant는 nxn matrix, 즉 행과 열의 개수가 같은 정방 행렬에서만 구할 수 있다. D(A) = |A|= det(A)로 쓰인다. 보통 많은 계산에서 determinant는 nxn matrix의 역행렬이 존재하는지(invertible)한지를 알아내기 위해 계산에서 많이 쓰인다. Determinant가 0이면, 특이 행렬(singular matrix)로 역행렬이 존재하지 않고, 0이 아니면, 비특이 행렬(nonsingular matrix)로 역행렬이 존재한다. 이와 관련한 얘기는 뒤에서 더..