개발자와 공학자 그 사이

이제 Linear Transformation에 대해 배워볼 것이다. 우선 정의는 다음과 같다. \(F- vector space X, U\)에서 \(L : X \to U\)라고 하면, 다음 두 조건을 만족하면 L은 Linear하다. 1. \(L(\alpha x) = \alpha L(x)\) for all \(\alpha \in F, x \in X\) 2. \(L(x+y) = L(x) + L(y)\) for all \(x, y \in X\) L을 Linear Operator라고 한다. \(F\)- vector space \(X, U\)에서 \(L : X \to U\)인 Linear Operator L에서 \(x_1, x_2, \cdots x_k \in X\), \(\alpha_1, \alpha_2, \cdo..

이걸 갑자기 왜 배우냐하면, 흔히 우리가 아는 x-y 좌표에서의 계산을 선형대수학과 연관시켜 풀이하기 위함이다. 우선 라그랑주 보간법(Lagrangian Interpolation)이란 n+1개의 좌표로 n차 다항식을 만드는 방법이다. Shamir's secret sharing & Lagrange Interpolation의 관계 비밀 데이터를 나누는데 사용되는 방법으로 위의 두 것이 같이 쓰인다는 것이다. https://research-note.tistory.com/7 Shamir's Secret Sharing과 Lagrange Interpolation Secret Sharing 비밀 데이터를 여러 조각으로 "나누어" 분산 저장하는 작업이며, 유사시 여러 조각들을 취합하여 비밀 데이터를 복구한다. 단, 비..

전 장에서 얘기한 기호를 자세히 설명해보면서 bases(basis의 복수)의 성질에 대해서도 알아보자. finite-dimensional vector space의 모든 nontrivial subspace는 basis를 가지는데, 고려하여 basis 정의를 다시 살펴보자. \(F-vector space V\)를 nontrivial vector space라고 하고, \({u_1, u_2 \cdots u_n}\)이 \(V\)에 span한다고 하면, 이 \({u_1, u_2 \cdots u_n}\) subset은 \(V\)의 basis이다. 우리는 벡터가 더 많았을 때 sp 안의 벡터가 줄어드는 경우만 자주 봤었다. 그러나 반대의 경우도 성립한다. \(F-vector spaceV\)를 finite-dimensi..

이제 basis에 대해 배워볼 것이다. 앞 장에서 언급했듯이 minimal spanning set of V를 V의 basis라고 한다. 그리고 여기서 basis는 dimension에 해당한다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. \(F\) vector space \(V\)에 대해 \(u_1, u_2, \cdots u_n\)이 \(V\)에 속한다고 하자. 만약 \(u_1, u_2, \cdots u_n\) spans V이며 linearly independent하면, 이는 \(V\)의 basis이다. 전 장의 이론 26에서 얘기한 바는 \(V\)의 선형 결합 조합이 오직 하나밖에 없으면은 Linearly independent임을 얘기했었다. 여기서 Linearly independent한 \({u_1, u_2 \cdo..

Linearly Independence에 대해 배울 것이다. 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나이다. 그 전에 subspace에 대해 좀 더 알아보자. 앞으로의 설명에서 V is vector space over F라고 가정한다. 모든 \(V\)는 Subset을 갖는다. \(V\)의 가장 작은 spanning set을 B라 하면, \(V = span(B)\)이다.2.와 관련된 보조 정리는 다음과 같다.\(u_1, u_2, \cdots u_n \)dl \(V\)의 vectors이고, \(v \in sp{u_1, u_2, \cdots u_n} \)이면, \(sp{u_1, u_2, \cdots u_n, v} = sp{u_1, u_2, \cdots u_n}\) 이다.Proof) x를 \( sp{u_1, u_2, ..

Linear Combinations \(F\)- vector space \(V\)에 대해, \(u_1, u_2, \cdots, u_k\)을 \(V\)의 vectors, \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in F \)이라고 하면, \(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_k u_k \)를 Linear Combination(일차 결합) 이라고 한다. 일차 결합은 벡터 여러 개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것이다. 벡터 공간의 성질에 따라 다음도 정의된다. Vecotr space \( V\)에 대해 공집합이 아닌 subspace \(S\)의 모든 일차결합은 \(V\)에 속한다. 이 이론의 증명은 수학적 귀납법으로 증명한다..

벡터 공간의 부분 집합( subset )이 벡터공간이 될 수 있는 조건에 대해 배워볼 것이다. 일단 정의부터 보자. F- vector space V에 대해 다음 조건을 만족하면, S를 V의 subset이라고 한다. 1. \( 0 \in S\). 2. 만약 \(\alpha \in F\) 와 \(u \in S\)이면, \(\alpha u \in S\)이다. (scalar multiplication) 3. 만약 \(u, v \in S\)이면, \(u+v \in S\)이다. 연습문제를 통해 개념을 파악해보자.

이번 장에서는 vibrating membrane의 모델 eq에 대한 해를 구해보자. \[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\] \[u=0 on the boundary\] \[u(x, y, 0) = f(x, y)\] \[u_t(x, y, 0) = g(x, y)\] 첫 번째 식은 Two-dimensional wave eq. \(c^{2} = T/p\) 가 유도된다. 두 번째 식은 boundary condition. 세, 네 번째 식은 Initial condition. 이제 해를 구해볼 것이다. 가로의 길이가 a이고 세로의 길이..