개발자와 공학자 그 사이

Linearly Independence에 대해 배울 것이다. 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나이다. 그 전에 subspace에 대해 좀 더 알아보자. 앞으로의 설명에서 V is vector space over F라고 가정한다. 모든 \(V\)는 Subset을 갖는다. \(V\)의 가장 작은 spanning set을 B라 하면, \(V = span(B)\)이다.2.와 관련된 보조 정리는 다음과 같다.\(u_1, u_2, \cdots u_n \)dl \(V\)의 vectors이고, \(v \in sp{u_1, u_2, \cdots u_n} \)이면, \(sp{u_1, u_2, \cdots u_n, v} = sp{u_1, u_2, \cdots u_n}\) 이다.Proof) x를 \( sp{u_1, u_2, ..

Linear Combinations \(F\)- vector space \(V\)에 대해, \(u_1, u_2, \cdots, u_k\)을 \(V\)의 vectors, \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \in F \)이라고 하면, \(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_k u_k \)를 Linear Combination(일차 결합) 이라고 한다. 일차 결합은 벡터 여러 개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것이다. 벡터 공간의 성질에 따라 다음도 정의된다. Vecotr space \( V\)에 대해 공집합이 아닌 subspace \(S\)의 모든 일차결합은 \(V\)에 속한다. 이 이론의 증명은 수학적 귀납법으로 증명한다..

벡터 공간의 부분 집합( subset )이 벡터공간이 될 수 있는 조건에 대해 배워볼 것이다. 일단 정의부터 보자. F- vector space V에 대해 다음 조건을 만족하면, S를 V의 subset이라고 한다. 1. \( 0 \in S\). 2. 만약 \(\alpha \in F\) 와 \(u \in S\)이면, \(\alpha u \in S\)이다. (scalar multiplication) 3. 만약 \(u, v \in S\)이면, \(u+v \in S\)이다. 연습문제를 통해 개념을 파악해보자.

이번 장에서는 vibrating membrane의 모델 eq에 대한 해를 구해보자. \[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\] \[u=0 on the boundary\] \[u(x, y, 0) = f(x, y)\] \[u_t(x, y, 0) = g(x, y)\] 첫 번째 식은 Two-dimensional wave eq. \(c^{2} = T/p\) 가 유도된다. 두 번째 식은 boundary condition. 세, 네 번째 식은 Initial condition. 이제 해를 구해볼 것이다. 가로의 길이가 a이고 세로의 길이..

이 장에서는 Heat eq의 bar의 길이를 \(-\infty\) ~ \(\infty\)로 확장한다. Fourier Integrals을 이용하면, eq을 풀이해낼 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있을 것이다. \(-\infty\) ~ \(\infty\) 이기에 boundary condition은 존재하지 않고, initial condition만 존재한다. Boundary condition이 없으므로 p를 전처럼 깔끔하게 정리할 수가 없다. u(x,t)는 p에 대해 의존성이 있게 되면서, u(x, t ; p)로 표현이 된다. 여기서 Fourier Integrals을 사용하여 (-무한대에서 +무한대까지이고, p가 연속성을 지닐수도 있기에 fourier integrals로 해야 한다.) 풀이를 이어가자. Exam..

Heat Equation에도 똑같이 적용해서 진행할 것이다. 앞의 string이 x=0부터 x=L까지 one-dimensional wave equation이었다면, 여기는 x=0부터 x=L까지의 bar에서의 one-dimensional heat equation에 대해 알아볼 것이다. 앞의 wave eq은 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\)이었다면, heat eq은 \(\frac{\partial u}{\partial t} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\) 으로 wave는 u를 x에 대해 두 번 미분, heat은 1번만 미분했다고 생각하면 된..

위의 사진과 같은 string의 함수를 구하는 데에 One-dimensional wave equation이 필요하며, 이는 PDE로 나타낸다. \[\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \] 이 방정식을 구할 때 알아야 할 조건이 있다. Boundary Condition과 Initial condition을 고려해야 한다. 위의 Wave equation을 이용해서 알아볼 것이다. Step 1. Two ODEs from the Wave eq. Step 2. Satisfying the Boundary Conditions 이 함수를 eigenfunctions라고 부르며 \(\lambda _n = \frac..

12장에서 쓰이는 ODE 기본 Partial Differential Equations (PDEs) 란 u(x, t), u(x, y), u(x, y, t)처럼 하나 이상의 변수에 대해 partial derivatives(편미분)을 가지고 있는 방정식이다. Linar PDE에 대해 우리가 관심을 가져볼 것이다. Linear PDE는 \((\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}})u = 0\)에서 \(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\) 은 P(D)로 P(D)u =0 꼴로 나타내면서 u는 1차로 linear한 성질을 띄는 ..